解决问题国家优质课一等奖

正方形和圆之间部分的面积

教学目标：1、巩固圆的面积计算方法，并灵活运用解决一些简单的实际问题。

2、运用转化思考方法，通过让学生观察“曲”与“直”的转化，向学生渗透极限的思想。

重点：利用圆的面积公式进行实际计算。

难点：结合正方形、圆的面积计算求差。

一、创设情境，导入新课。 1、前两天，我们学习了圆和圆环的面积计算，谁来说说它们的面积计算公式？

2、课件出示生活中类似外圆内方和外方内圆形状的物体。 生活中我们不但能看到许多圆形的物体，圆环这样的设计，还有很多是由圆和其他图形组成的，我们来看看这些数学影子，欣赏欣赏图形的美，感受生活处处有数学。 中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。这两种图形我们在生活中经常会看到，十分美观，给人舒服、大气之感。 3、设计图中两个圆的半径都是一米，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？这节课我们就来探索这类问题的解决方法。

板书：正方形和圆之间部分的面积 二、探究新知识 1、多媒体出示“外方内圆”的几何图形。 （1）引导学生观察图形间的异同、联系、思考计算图中阴影部分

面积的方法。 从题目中你了解到哪些数学信息？要解决什么问题？ 我把这幅设计的简图画下来，观察这两幅图，你发现它们有什么特点？有什么联系和区别？ （如：都是由正方形和圆形组成的，正方形和圆形的位置不同，左图是一个正方形中有一个最大的圆，右图中是一个圆中有一个最大的正方形，求正方形和圆之间部分的面积，左图求的是正方形比圆多的面积，右图中求的是圆比正方形多的面积。左面正方形的边长等于圆的直径，右面正方形的对角线的长等于圆的直径。）

板书：外方内圆

、外圆内方 板书：阴影部分的面积=正方形的面积－圆的面积。 板书：阴影部分的面积=圆的面积－正方形的面积。 （2）先让学生独立思考，再与同桌交流自己的想法。 知道了求阴影部分面积的解题思路，让我们先来解决左边“外方内圆”的阴影部分面积吧。你能先在练习本上试试计算吗？写完后，跟同桌说说你的想法。 正方形和圆的面积都可以通过公式计算求得。 S圆：3.14×1²=3.14㎡ 通过观察：正方形的边长等于圆的直径，即2m。 S正：2×2=4㎡

所以，S正－S圆：4-3.14=0.86㎡ 板书：S圆：3.14×1²=3.14㎡

S正：2×2=4㎡ S正－S圆：4-3.14=0.86㎡ 小结：同学们通过图形间的联系，自主找到了解决问题的办法。 2、多媒体出示“外圆内方”的几何图形 （1）接下来，让我们尝试用“外方内圆”图形面积的计算，来求“外圆内方”图形的面积。 S圆=3.14×1²=3.14㎡ （2）求正方形的面积，遇到什么困难了吗？不知道正方形的边长，不能直接求。有没有其他方法可以求出正方形的面积呢？在数学学习过程中，我们常用

到“转化”的数学思想，没有学过的图形转化成学过的，把复杂的转化成简单的，正方形的边长不好求，正方形的面积不能直接求

，那我们是否可以把它转化成其它学过的图形来求它的面积呢？四人小组讨论。拿铅笔来画一画，试一试，看是否能找到解决问题的方法。

引导学生思考：能与正方形发生联系的只有圆的直径或半径，而直径恰好是正方形的对角线，虽然仍然不能求出正方形的边长，但可以把正方形的面积转化为两个三角形的面积之和。这种添加辅助线的方法有时不能一下子就能找到，因此需要我们认真观察图形，找到图形之间的联系，利用问题中的可用信息“顺藤摸瓜”。把图形中的正方形看成两个三角形，则两个三角形的面积和就是正方形的面积。三角形的底和高分别是？三角形的底是圆的直径，三角形的高是圆的半径。三角形的面积怎么求？S三=½ah 板书：转化

（3）让学生根据提示先独立计算出正方形的面积 ,指名学生回答，老师板书。 S正=（½×2×1）×2=2（㎡） 所以，阴影部分面积为 S圆-S正=3.14-2=1.14（㎡） 小结：应用“转化”的数学思想，添加辅助线，分析理解，又为我们提供了解决问题的新途径。解决图形题，多动笔画画，你会有不一样的收获哦！ 3、探讨一般化的结论，总结出解决这类问题的方法。 如果两个圆的半径都是r，那么阴影部分的面积怎么用含有r的式子表示？请试试把它写出来。

小结规律及方法： 外方内圆：（2r）²-3.14×r²=0.86r² 外圆内方：3.14×r²-（½×2r×r）×2=1.14r² 那么我们解答得对不对呢？有什么方法验证吗？

当r =1m时，和前面的结果完全一致。说明我们的结论是正确的。 小结：不管圆的大小如何改变，外切正方形与圆之间的面积都是半径平方的0.86倍，而内接正方形与圆之间的面积都是半径平方的1.14倍，对于同一个圆而言，两个正方形之间的面积是半径平方的2倍。 三、解决问题： 1、图中两个圆半径都是1 m，求出正方形和圆之间部分的面积。

左图：

4r²－πr²

右图：

πr²－2r²

＝1.14r²

＝0.86r²

＝1.14（m²）

＝0.86（m²）

出示两种思路，让学生优化做法。

2. 右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24.8 cm。

外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？

πr²－2r²

＝1.14r²

＝1.14×（24.8÷2）²

＝175.2864 ≈175.3（cm²）

四、布置作业： 作业：第72页练习十五，第

5题、第6题、第9题。