解决问题课堂实录【3】

用面积知识解决问题

连江县第三实验小学 陈翠萍

教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第69～70页例3 学情分析：

人教版2014审定教材中，在“圆的面积”部分，增加了解决实际问题的内容，即求圆与外切正方形、内接正方形之间的面积。要求学生利用图形之间的关系，灵活计算这两部分的面积，并在“讨论”环节进一步得出更为一般化的结论。

在本课学习前，孩子们已经掌握了正方形和圆面积的计算，并积累了组合图形面积计算、用字母表示数等学习经验。因此，课中除了“外圆内方”图形中正方形面积必须用“转化法”间接计算外，其他的学习内容对学生的思维挑战都不算困难。

基于这样的认识，本课的设计中，教学重点更倾向于让学生进一步体验解决问题的全过程，掌握解决问题的基本步骤、方法，积累解决问题的经验。特别是引导学生养成回顾反思的习惯，不但有利于检验正误，更引导学生学会进一步延伸思考，从而提高问题解决的能力。

设计理念：

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，解决问题教学第二学段（4～6年级）的目标是：①尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。②能探索分析和解决简单问题的有效办法，了解解决问题方法的多样性。③经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。④能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。

教学目标：

1.使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程，运用圆与其他平面图形面积的知识解决问题，掌握“外方内圆”和“外圆内方”图形面积的计算方法。

2.对组合图形进行分析，培养学生的推理、归纳、迁移等能力。

3.在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律，培养数学活动经验，进一步提高问题解决的能力。

4.通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。

教学重点：掌握“外方内圆”和“外圆内方”图形面积的计算方法。

教学难点： 1.“外圆内方”图形中正方形面积的计算方法

2.探索并发现“外方内圆”和“外圆内方”图形中的一般规律。

教学准备：课件、学具、作业纸、尺子。

教学过程：

一、创设情景，谈话引入

1.师：欢迎回到我们的数学课堂！请看大屏幕，让我们一起来欣赏两组图片！

（课件出示雕窗、井盖、砚台、铜镜、建筑等）

师：这些是我们生活中或传统文化中常见的物品。从中你看到了哪些数学图形？（圆形和正方形）

师：它们确实是由正方形和圆形组合而成的。

师：请看第一组图片，外面是正方形，里面有一个最大的圆，这样的图形可以叫做“外方——(内圆)”，那第二组图片可以叫做——（“外圆内方”），因为它是圆形里面有一个——（最大的正方形）。（板书：外方内圆 外圆内方）

师：这样方圆组合的结构，不但体现了中国的传统文化，也蕴藏着许多数学的奥妙。这节课，我们就用学过的面积知识来解决这方面的数学问题。

（出示课题：用面积知识解决问题）

【设计意图：由生活中的传统文化器物导入新课，激发了学生学习的兴趣和探索的热情，也适时渗透中国传统文化的教育。】

二、探究新知，解决问题

1.阅读与理解

师：这是两个中国古建筑中常见的“外方内圆”“外圆内方”雕窗设计。要解决的问题是什么呢？谁愿意来读题目？

出示题目：图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形与圆之间部分的面积吗？

师：题目很简单，告诉我们两个圆的半径都是——1米，它们在哪儿呢？

师：为了研究方便，我们可以把这两幅图案用数学图形表示，再把信息标在图上，这样就一目了然了。

师：求的是——（正方形和圆之间部分的面积）

师：正方形和圆之间的部分指的是哪个部分呢？谁能上来指着两幅图分别说一说。

（生：指的是这些部分）

师：你们也认为是这些部分吗？

师：（课件出示）在外方内圆图中，这个部分就是正方形比圆形——（多）的部分；在外圆内方图中，指的是正方形比圆形——（多）的部分。为了表达方便，下面我们直接把它们称为“阴影部分”。

师：刚才我们进行了有思考的阅读，理解了题目的意思。（板书：阅读和理解）

2.分析与解答

（1）外方内圆

师：下面我们继续进行分析和解答。（板书：分析和解答）

师：先看“外方内圆”这幅图。（课件出示）

师：你能求出阴影部分的面积吗？谁愿意来尝试？（适时板书：S阴影=S正方形-S圆）

师：你们的想法跟他一样吗？

师：把它算完吧！

（板：（1×2）²-3.14×1²=4-3.14=0.86（m²））

师：刚才大家列出了算式，这部分是求——（圆的面积），必须知道它的——（半径）；这部分是求——（正方形的面积），必须知道它的——（边长），在这里正方形的边长就是——（圆的直径）。你看，抓住关键条件，我们就能很快地解决问题。

（2）外方内圆

师：（课件出示）我们再来看“外圆内方”这幅图，怎样求阴影部分面积呢？请独立思考，再把你的想法跟同桌沟通，最后选择合适的方法把算式写在练习单上。

（生同桌合作，师巡视并关注学生不同的解题思路，适时帮助有困难的学生，提醒孩子添加辅助线和垂直符号、用三角板验证是不是高。）

师：老师展示几份学习单，请这几个同学上台跟大家分享他们的思考过程。

预设①：

将正方形面积转化成四个三角形的面积，汇报后让学生将算式板书在黑板上

生：……把正方形变成四个三角形……

师：“转化”成四个三角形。

生：……底是半径，高也是半径……

师：用三角板比一下，是不是高？（是）

师：听了他的介绍，谁来夸夸他们，你觉得什么地方特别棒？

生：用上转化法。

师：为什么要转化？（因为无法求出正方形的边长）所以……

师：还有其他想夸的吗？

师：我很喜欢这两条辅助线，谁知道为什么？（添上他们，就可以清楚地看出一个正方形被转化成了——4个三角形）是的，添加辅助线是解决几何图形问题常用的办法。

师：非常谢谢XXX同学给我们带来的分享，请把你们的算式写在黑板上。

3.14×1²-1²÷2×4 =3.14-2 =1.14（m²）

师：下面我们再请XXX这一桌同学上来跟大家分享他们的想法。

预设②：将正方形面积转化成两个三角形面积

……

师：还有同学有不同的方法吗？做错的同学要调整下你们的方法。

师：刚才我们共同探讨了求“外圆内方”阴影面积的思路。这道题目最难的地方在哪里？（没有办法直接求出正方形面积）但是我们用上了什么方法——（转化法），把正方形转化成——（4个三角形）或者其他图形，把难解决的问题转化成——简单的问题。

【设计意图：让学生经历观察思考、分析推理等学习活动，得出公共边以及图形各要素之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决。教学过程中，注重把时间和空间还给学生，展示学生自主学习的过程。】

三、回顾反思，理解算法

师：下面我们一起来回顾反思刚才解决问题的过程。

【出示板书：回顾与反思】

师：说说它们有什么相同点和不同点。

（相同点：都是用S大-S小=正方形和圆之间的面积；不同点：计算公式不同：左边

用=S正方形-S圆形，右边是用S圆形-S正方形；计算方法不同，左边正方形面积可以直接求，右边正方形面积只能用转化法求。）

师：我们来继续观察图形和算式，计算过程中我们都用到了——（圆的半径）。那么，两幅图的阴影部分面积肯定都跟谁有关？（半径）

师：假设半径变成5米、20米，阴影部分面积会是多少呢？

师：一、二两组同学你们来研究半径5米的情况，三、四两组同学研究半径是20米的情况。

师：同桌两个继续分工合作，左边同学算“外方内圆”这幅图，右边同学算“外圆内方”这幅图。看哪一组、哪一桌算得最快！

（学生计算，集体反馈）

师：半径是5米的两组，那一桌来汇报下你们的计算结果？算对的请举手！

（课件出示：( 5×2)²-3.14×5²=21.5(m²) 3.14×5²-（5×2）×5=28.5(m²)）

师：这两组同学汇报下半径是20米的计算结果，答案跟老师一样的请举手！

（课件出示：( 20×2)²-3.14×20²=344(m²) 3.14×20²-（20×2）×20=456(m²)）

师：如果半径继续变化，大家还会算吗？

师：现在我们把变化的半径直接用r来表示，谁会列出算式？

板书：

（2r）2 –3.14r2 3.14r2 –r2÷2×4 =4r2 -3.14 r2 =3.14r2 -2r2

=0.86r² =1.14r²

师：于是我们可以得出结论：外方内圆，正方形与圆之间部分的面积是0.86r²；外圆内方，正方形与圆之间部分的面积是1.14 r²。 师：大家再把半径1、5或20代入0.86r²和1.14 r²验算，看看结果与前面是否相同。

师：结果相同吗？这也说明我们前面计算结果是——正确的。

师：以后再遇到外方内圆、外圆内方的问题时，我们既可以用刚才的办法一步一步列式计算，也可以用我们今天探索出的结论直接代入计算。

【设计意图：“授人以鱼，不如授人以渔”，在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律是本堂课教学的重要内容。在层层深入的学习过程中，始终坚持为学生创设探索的情境，利用知识内在的魅力吸引学生主动投入到知识的发展过程中。】

四、巩固练习，强化应用

1.右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？

2.求阴影部分的面积。

五、全课总结，畅谈收获

师：下面我们一起来交流下今天学习的收获。谁愿意跟大家分享？

【板书设计】

用面积知识解决问题

外方内圆 （1×2）²-3.14×1²=4-3.14 =3.14-2 =0.86（m²） =1.14

（2r）²-3.14r² 3.14r=4r²-3.14r² =3.14r=0.86 r² =1.14 外圆内方

×1²-1²÷2×4 （m²）

²-r²÷2×4 ²-2r²

r²

3.14