5. 匀变速直线运动速度与时间的关系优秀导入

学案5

斜抛运动(选学) [目标定位]

1.知道斜抛运动，会用运动的合成和分解的方法分析斜抛运动.2.通过实验探究斜抛运动的射高和射程跟初速度和抛射角的关系，并能将所学知识应用到生产和生活中.

一、斜抛运动

[问题设计]

对于斜上抛运动，其轨迹如图1所示，设在坐标原点以初速度v0沿与x轴(水平方向)成θ角的方向将物体抛出，此时，可以将物体的斜抛运动分解为沿水平方向(x轴方向)和竖直方向(y轴方向)的两个运动.

图1 请分析两个方向分运动的规律. 答案

因物体在水平方向不受外力，ax＝0，所以水平方向做匀速运动；物体在竖直方向只受重力作用，所以ay＝－g(取竖直向上为正方向).所以竖直方向做竖直上抛运动. 所以物体沿水平和竖直两个方向的分运动规律为

水平方向：vx＝v0x＝v0cos θ，x＝v0xt＝v0tcos θ. 竖直方向：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt，

11y＝v0yt－gt2＝v0sin θ·t－gt2. 22[要点提炼]

1.斜抛运动的性质：由于斜抛运动的加速度是重力加速度，且与速度方向有夹角，因此，斜抛运动是匀变速曲线运动.其轨迹为抛物线. 2.斜上抛运动的研究方法：采用运动的合成与分解的方法. 水平方向：物体不受外力，以初速度v0x＝v0cos_θ做匀速直线运动. 竖直方向：受重力作用，加速度为g，以初速度v0y＝v0sin_θ

做竖直上抛运动. 3.斜上抛运动的轨迹、速度、位移和时间具有对称性.

二、斜抛运动的射程和射高

[问题设计]

1.一炮弹以初速度v0斜向上方飞出炮筒，初速度与水平方向夹角为θ，请根据图2求解炮弹在空中的飞行时间、射高和射程.

图2 答案

先建立直角坐标系，将初速度v0分解为：

v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ

2v0y2v0sin θ飞行时间：t＝＝

gg22v0v2y0sin

θ射高：Y＝＝

2g2g22v20sin θcos θv0sin 2θ射程：X＝v0cos θ·t＝＝

ggv20可见，给定v0，当θ＝45°时，射程达到最大值Xmax＝. g2.由射程的表达式，讨论影响射程的因素有哪些？

v20sin 2θ答案

射程X＝，由此可以看出射程的大小与初速度和抛射角有关. g[要点提炼]

2v0sin θ1.落点与抛出点在同一水平面上时的飞行时间：t＝. g2v2v0sin2

θ0y2.射高：Y＝＝. 2g2g2v0sin θv20sin 2θ3.射程：X＝v0x·t＝v0cos θ·＝. gg4.影响射程的因素

(1)当θ一定，v0越大，射程越大. (2)当v0大小一定，θ＝45°时射程最大，当θ>45°时，射程随θ增大而减小；θ<45°时，射程随θ减小而减小.

一、对斜抛运动的理解

例1

关于斜抛运动，下列说法中正确的是(

) A.物体抛出后，速度增大，加速度减小

B.物体抛出后，速度先减小，再增大

C.物体抛出后，沿着轨迹的切线方向，先做减速运动，再做加速运动，加速度始终沿着切线方向

D.斜抛物体的运动是匀变速曲线运动

解析

斜抛物体的运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛或竖直下抛运动，抛出后只受重力作用，故加速度恒定.若是斜上抛则竖直分速度先减小后增大，若是斜下抛则竖直分速度一直增大，故A、B、C项错误.由于斜抛运动的物体只受重力的作用且与初速度方向不共线，故做匀变速曲线运动，D项正确. 答案

D 针对训练

关于斜抛运动，下列说法正确的是(

) A.斜抛运动是一种不受任何外力作用的运动

B.斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动

C.任意两段相等时间内的速度大小变化相等

D.任意两段相等时间内的速度变化相等

答案

D 解析

斜抛运动是指将物体以一定的初速度沿斜向抛出，物体只在重力作用下的运动，所以A错.斜抛运动是曲线运动，是因为初速度方向与重力方向不共线，但物体只受重力，产生的加速度是恒定不变的，所以斜抛运动是匀变速曲线运动，故B错.根据加速度的定义式可得Δv＝gΔt，所以在相等的时间内速度的变化相等，而速度是矢量，包括大小与方向两个因素，在这里我们只能判断出速度的变化相等，故C错，D对. 二、斜抛运动的射程和射高

例2

从某高处以6 m/s的初速度、以30°抛射角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°(忽略空气阻力，g取10m/s2)，求：

(1)石子在空中运动的时间；

(2)石子的水平射程；

(3)抛出点离地面的高度. vy解析

(1)如图所示：石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则＝tan 60°＝3 vx即：vy＝3vx＝3v0cos 30°＝3×6×3

m/s＝9 m/s 2

取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则

－vy＝v0sin 30°－gt，得t＝1.2 s (2)石子在水平方向上做匀速直线运动：x＝v0cos 30°t＝6×3×1.2 m＝3.63 m≈6.2 m. 2111(3)由竖直方向位移公式：h＝v0sin 30°×t－gt2＝6××1.2 m－×10×1.22 m＝－3.6 m，负222号表示落地点比抛出点低. 答案

(1)1.2 s

(2)6.2 m

(3)3.6 m

斜抛运动

定义：当不考虑空气的阻力时，一个物体沿斜向抛出后

的运动1加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动特点2轨迹是抛物线

研究方法：水平方向的匀速直线运动和竖直上下抛运

动的合运动1射程：物体从抛出点到落地点的水平距离2射高：在斜抛运动中，物体能达到的最

大高度3射程与射高跟初速度和抛射角的关系：射程、射高①抛射角一定时，射程和射高都随初速度

的增大而增大②初速度大小一定时，射程随抛射角的增

大先增大后减小，抛射角为45°时射程

最远；射高随抛射角的增大而增大

1.(对斜抛运动的理解)关于斜抛运动，忽略空气阻力，下列说法中正确的是(

) A.斜抛运动是曲线运动

B.斜抛运动的速度一直减小

C.斜抛运动在最高点速度不为零

D.斜抛运动的加速度是恒定的

答案

ACD

解析

做斜抛运动的物体只受重力作用，加速度为g，水平方向为匀速直线运动，竖直方向做加速度为重力加速度为g的匀变速直线运动，斜上抛运动速度先减小后增大.在最高点有水平速度.故A、C、D正确. 2.(斜抛运动的射高)关于斜抛运动中的射高，下列说法中正确的是(

) A.初速度越大，射高越大

B.抛射角越大，射高越大

C.初速度一定时，抛射角越大，射高越大

D.抛射角一定时，初速度越大，射高越大

答案

CD 解析

斜抛运动的射高，是由初速度和抛射角共同决定的，初速度一定时，抛射角越大，射高越大；抛射角一定时，初速度越大，射高也越大，故C、D正确. 3.(斜抛运动的射程)在不考虑空气阻力的情况下，以相同大小的初速度，抛出甲、乙、丙三个手球，抛射角分别为30°、45°、60°，则射程较远的手球是(

) A.甲

C.丙

答案

B 解析

不考虑空气阻力的情况下，三个手球的运动可看做斜抛运动，然后根据斜抛运动的射v20sin 2θ程公式X＝分析. gB.乙

D.不能确定

题组一

对斜抛运动的理解

1.斜抛运动和平抛运动的共同特点是(

) A.加速度都是g

B.运动轨迹都是抛物线

C.运动时间都与抛出时的初速度大小有关

D.相同时间内速度变化都相等

答案

ABD 解析

斜抛运动和平抛运动都是仅受重力作用的抛体运动，因此其加速度都是相同的，都为重力加速度，因此选项A、D正确.它们的轨迹均为抛物线，选项B正确.斜抛运动的时间由竖直方向的分运动决定，平抛运动的时间仅与竖直方向上的位移有关，与初速度无关，故选项C错误. 2.做斜上抛运动的物体的运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动，下列图像中正确描

述竖直方向上物体运动的速度的是(

)

答案

C 3.如图1是斜向上抛出的物体的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点.下列叙述中正确的是(不计空气阻力)(

)

图1 A.物体在C点的速度为零

B.物体在A点的速度与在B点的速度相同

C.物体在A点、B点的水平分速度均等于物体在C点的速度

D.物体在A、B、C各点的加速度都相同

答案

CD 解析

速度是矢量，A、B点速度大小相等，方向不相同.斜抛运动在水平方向上是匀速直线运动，竖直方向的加速度总为g.

题组二

斜抛运动的射高和射程

4.关于斜抛运动，下面的说法正确的是(

) A.抛射角一定，初速度小时，运动时间长

B.抛射角一定，初速度大时，运动时间长

C.初速度大小一定，抛射角小时，运动时间长

D.初速度大小一定，抛射角大时，运动时间长

答案

BD 解析

斜抛运动的时间取决于竖直方向的分运动. 5.A、B两物体初速度相同，A沿与水平方向成θ角的光滑斜面上滑；B与水平方向成θ角斜上抛.它们所能达到的最大高度分别为HA和HB，则下列关于HA和HB的大小判断正确的是(

) A.HA＜HB

B.HA＝HB

C.HA＞HB

D.无法确定

答案

C 解析

假设初速度为v0，在光滑斜面上，对物体A进行受力分析可以得到物体的加速度a＝

mgsin θ2＝gsin θ，物体在斜面上运动的长度为l，则v0＝2glsin θ，离地面的最大高度HA＝lsin m2v2v200sin

θθ＝；斜向上抛时，B物体竖直分速度vy＝v0sin θ，上升的最大高度HB＝＜HA. 2g2g6.从水平地面上某处以相同速率v0用不同抛射角斜向上抛出两小球A、B，两小球的水平射程相同，已知小球A的抛射角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则(

) v20sin θA.小球A的水平射程为

2gπB.小球B的抛射角一定为－θ

2tA1C.两小球A、B在空中飞行时间的比值为＝

tBtan θhAD.两小球A、B上升的最大高度的比值为＝tan θ

hB答案

B 解析

将小球A的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，竖直分运动是竖直上抛运动，水平分运动是匀速直线运动，根据分运动公式，有：

竖直分运动：－v0sin θ＝v0sin θ－gt①

水平分运动：x＝v0cos θt②

22v0sin θcos θ联立①②解得：x＝，故A错误；

g22v0sin θcos θv20sin 2θ水平射程表达式为：x＝＝

gg由于两小球的水平射程相同，故两个小球的抛射角的两倍之和等于π，即两个小球的抛射角π互余，故小球B的抛射角一定为－θ，故B正确；

22v0sin θ根据①式，小球A运动时间为：tA＝

gπ2v0sin －θ2同理，小球B运动时间为：tB＝

gtAtan θ故两小球A、B在空中飞行时间的比值为：＝，故C错误；

tB12v2v20y0sin

θ竖直分运动是竖直上抛运动，根据速度位移关系公式，有：h＝＝

2g2ghAtan2θ故两小球A、B上升的最大高度的比值为：＝，故D错误. hB1题组三

综合应用

7.如图2所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同.空气阻力不计，则(

)

图2 A.B的加速度比A的大

B.B的飞行时间比A的长

C.B在最高点的速度比A在最高点的大

D.B在落地时的速度比A在落地时的大

答案

CD 解析

由题可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度，故A错；设上升的最大高度为h，1在下落过程，由h＝gt2，可知下落时间t＝22h，根据运动的对称性可知，两球上升时间和g下落时间相等，故两小球的运动时间相等，故B错；由x＝vxt，可知vxA＜vxB，由v2y＝2gh，2可知落地时，竖直方向的速度vyA＝vyB，再由v＝v2x＋vy，可知B在落地时的速度比A在落地时的大，所以正确选项为C、D. 8.如图3所示，在地面上某一高度处将A球以初速度v1水平抛出，同时在A球正下方地面处将B球以初速度v2斜向上抛出，结果两球在空中相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中(

)

图3 A.A和B的初速度大小关系为v1

B.A和B的加速度大小关系为a1>a2

C.A做匀变速运动，B做变加速运动

D.A和B的速度变化量相同

答案

AD 解析

如图所示，设v2与水平方向夹角为θ，两球分别做平抛运动和斜抛运动，都只受重力作用，做匀变速运动，加速度均为g，B、C错误；两球经过相等时间Δt在空中相遇，则水Δv平位移相等，故v1Δt＝v2cos θΔt，v1

9.如图4所示，将小球沿与水平方向成α角的方向以速度v斜向右上抛出，经时间t1击中墙上距水平面高度为h1的A点；再将此球仍从同一点以相同速率抛出，抛出速度与水平方向成β(β＞α)角，经时间t2击中墙上距水平面高度为h2的B点(图中未标出)，空气阻力不计.则(

)

图4 A.t1一定小于t2

C.h1一定小于h2

答案

A 解析

小球被抛出后，仅受重力作用，即在水平方向做匀速直线运动，无论小球是在上升阶段还是在下落阶段击中墙壁，其水平方向的位移都相等，因此有：vcos α·t1＝vcos β·t2，由于β＞α，因此vcos α＞vcos β，所以有：t1＜t2，故选项A正确，B错误；因小球击中墙壁时可能在小球上升阶段，也可能在下落阶段，因此h1与h2的大小关系不能确定，故选项C、D错误. B.t1一定大于t2

D.h1一定大于h2