5.4 二次函数与一元二次方程教案评析

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5.4 二次函数与一元二次方程（1）

1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；

学目标

2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）图像交点的横坐标．

经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．

准确理解二次函数与一元二次方程的关系．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

学重点

学难点

旧知，明确结论

通过观察一次函数y＝x＋1的图像，可以发现并归次函数与一元一次方程之间存在联系：

（1）解一元一次方程x＋1＝0；

从“数”的方面看，当一次函数y＝x＋1的函数值y让学生通过对旧知时，相应的自变量的值即为方程x＋1＝0的解；

321（2）画一次函数y＝x＋1的图回顾及对新知识的思考，从“形”的方面看，函数y＝x＋轴交点的横坐标即为方程x＋1–2–1y像，并指出函数y＝x＋1的图像与x旧知识，起到承上启下之轴有几个交点．

x1同时通过老师的引导，培的解．

（3）一元一次方程x＋1＝0与生的形成解决一类问题一次函数y＝x＋1有什么联系？ 用方法的思维品质．

实际上，这也反映了一般函数

O–1程的关系：一次函数y＝ax＋b像与x轴交点的横坐标即y＝0的值就是方程ax＋b的根．

打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物进入状态，兴致盎然．

图像上每个点的横、纵坐标含义是什么？

果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数：

5x＋20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？2飞行高度能否达到40m？

你是如何解决的，与同伴进行望．

交流．

问题的设置从生活引入，激发学生学习数学

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2019-6-27

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活动

一

二次函数y＝x2＋2x与一元二次方程x2＋2x＝0有怎从“函数值何时为关系？

1．从关系式看二次函数y＝积极思考，回答问题．

手，沟通二次函数与相应x成为一元二次方程x2＋2x元二次方程的关系；通过的条件是什么？ 图像揭示相应的一元二程的解的几何意义．

2．反应在图像上：观察二次y＝x2＋2x的图像，你能确定元二次方程 x＝0的根吗？

用同样的方法探索

学生对二次函数与二次函数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1 仿照上面解决问题的方法，得出结果．

二次方程的联系从特殊有怎样的关系？

22般性结论的讨论，逐步提二次函数y＝x－2x＋2与一元二次方程x－2x＋1生从旧知识中“类比猜想有怎样的关系？

察发现”“归纳概括”最出“结论”的从感性到理抽象思维能力．

学生对结论的归纳与提炼．完成3．结论

一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数与二次函数

2个公共点（x1，0）、(x2，0)，那么一元二次方程

得出一般结论，以引bx＋c＝0有两个不相等的实数根x＝x1、x＝x2，反y＝ax＋bx＋c图像与x轴交点的个数的讨论，使学生对数学命题中各部分符号的含义能深刻理解．

生作进一步的观察、探索纳．

也成立．

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二

师生共同总结． 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况说明：

1．当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；

观察下列图像：

结论由学生自己得（1）观察二次函数图像与x轴的公共点的个数；

完善,提高学生分析和解（2）判断函数值为0时一元二次方程根的情况；

2．当b2－4ac＝0时，一元二次题的能力．

方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有1个交点；

3．当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点．

（3）你能找到它们之间的联系吗？

精讲

1．不画图像，你能判断函数的图像y＝x2＋6x－6轴是否有公共点吗？请说明理由．

2理解一元二次方程2．已知二次函数y＝x－4x＋k＋2与x轴有公共就是二次函数与y＝h(h数)的交点的横坐标．

先独立完成，然后互助交流，进求k的取值范围．

3．打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条进一步提升学生对线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y（单一步理解函数与方程互相转化的思想．

际问题中的二次函数与米）与飞行距离x（单位：百米）之间具有关系：

二次方程的关系的理解应5x2＋20x，想一想：球的飞行高度能否达到40m？

用于解决实际问题．求二数与一次函数图像交点的理解，其本质就是求方的问题．

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练习

1．方程x2＋4x－5＝0的根是

；则函数 像与x轴的交点有

个，其坐标 ．

2．方程x2＋10x－25＝0的根是 ；则函数 像与x轴的交点有

个，其坐标学生独立完成，小组交流所做结果，巩固对知识的理解．

通过巩固练习加深对知识的理解．

．

3．下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ）

A．y＝x2－x B．y＝x2－2 C．y＝x2＋6x－9 D．y＝x2－x＋2

4．已知二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，的取值范围．

小结

1．一元二次方程的两个根即二次函数图像与x轴两师生共同构建．

用精炼的语言，使得点的横坐标，因此方程的根的情况决定着有无交点记忆简便，而且印象加深点的个数．

时让学生在总结中反思，升华．

2．“给定函数值求自变量问题”转化为“解方程的”．

作业

课本P28习题5.4第1，2题．

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