5.4 二次函数与一元二次方程优质课教案

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教

材：义务教育教科书·数学（九年级下册）

5.4 二次函数与一元二次方程（1）

1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；

目标

2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）图像交点的横坐标．

经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．

准确理解二次函数与一元二次方程的关系．

教学过程（教师）

学生活动

重点

难点

设计思路明确结论

察一次函数y＝x＋1的图像，可以发现并归与一元一次方程之间存在联系：

（1）解一元一次方程x＋1＝0；

”的方面看，当一次函数y＝x＋1的函数值y应的自变量的值即为方程x＋1＝0的解；

321让学生通过对旧”的方面看，函数y＝xy（2）画一次函数y＝x＋1的图像，并指及对新知识的思考，梳出函数y＝x＋1的图像与x轴有几个交点．

交点的横坐标即为方程x–2–1起到承上启下之效，同．

（3）一元一次方程x＋1＝0与一次函数y的引导，培养学生的形x1，这也反映了一般函数

O–1＝x＋1有什么联系？ 问题的通用方法的思维系：一次函数y＝ax＋b轴交点的横坐标即y＝0的值就是方程ax＋b第

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夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：进入状态，兴致盎然．

距离x（单位：百米）满足二次函数：

0x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？图像上每个点的横、纵坐标含义是什么？

度能否达到40m？

你是如何解决的，与同伴进行交流．

义．

问题的设置从生活激发学生学习数学的欲

数y＝x2＋2x与一元二次方程x2＋2x＝0有怎

从“函数值何时为关系式看二次函数y＝积极思考，回答问题．

沟通二次函数与相应一元二次方程x2＋2x方程的关系；通过函数是什么？ 应的一元二次方程的应在图像上：观察二次＋2x的图像，你能确定次方程 二的根吗？

的方法探索

学生对二次函数数y＝x2－2x＋2与一元二次方程x2－2x＋1 仿照上面解决问题的方法，得出结果．

方程的联系从特殊到的关系？

22的讨论，逐步提高学生数y＝x－2x＋2与一元二次方程x－2x＋1“类比猜想”“观察发的关系？

括”最后得出“结论”理性的抽象思维能力．第

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论

学生对结论的归纳与提炼．完成一元二次，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数与二次函数

y＝ax＋bx＋c图像与x轴交点的个数的讨论，2点（x1，0）、(x2，0)，那么一元二次方程

得出一般结论，以＝0有两个不相等的实数根x＝x1、x＝x2，反使学生对数学命题中各部分符号的含义能深刻理解．

师生共同总结． 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况说明：

1．当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，抛物线y2进一步的观察、探索和．

列图像：

观察二次函数图像与x轴的公共点的个数；

＝ax＋bx＋c与x轴有两个交点；

提高学生分析和解决问222．当b－4ac＝0时，一元二次方程ax＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有1个交点；

3．当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点．

结论由学生自己得判断函数值为0时一元二次方程根的情况；

你能找到它们之间的联系吗？

画图像，你能判断函数的图像y＝x2＋6x－6理解一元二次方有公共点吗？请说明理由．

二次函数与y＝h(h是的横坐标．

先独立完成，然后互助交流，进一步理解函数与方程互相转化的思想．

二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，范围．

进一步提升学生尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛题中的二次函数与一不考虑空气的阻力，球的飞行高度（y单位：的关系的理解应用，用距离x（单位：百米）之间具有关系：

问题．求二次函数与一0x，想一想：球的飞行高度能否达到40m？

交点问题的理解，其本程根的问题．

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程x2＋4x－5＝0的根是

；则函数 x轴的交点有

个，其坐标 ．

程x2＋10x－25＝0的根是 ；则函数 x轴的交点有

个，其坐标学生独立完成，小组交流所做结果，巩固对知识的理解．

通过巩固练习加识的理解．

．

函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ）

＝x2－x B．y＝x2－2 x2＋6x－9 D．y＝x2－x＋2

二次函数y＝x2－4x＋k＋2与x轴有公共点，范围．

二次方程的两个根即二次函数图像与x轴两师生共同构建．

用精炼的语言，使坐标，因此方程的根的情况决定着有无交点简便，而且印象加深，数．

在总结中反思，完成升定函数值求自变量问题”转化为“解方程的第

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2019-6-30 8习题5.4第1，2题．