12.5 用数轴上的点表示实数优秀教案案例

用数轴上的点表示实数（原稿）

赵璞

教学目标

1、理解每一个实数都可以用数轴上的点表示，知道数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数，能将一个实数用数轴上大致位置的点表示。知道两数各自对应的点在数轴上的位置与这两个数大小之间的关系。

2、知道数的范围扩充后，有理数范围内的绝对值、相反数等有关概念，在实数范围内依然成立，会对实数进行大小比较. 3、经历探索无理数的大小并在数轴上用点表示大致位置的过程，感受数形结合思想。

教学重点及难点

重点：理解无理数能在数轴上表示，理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义. 难点：在数轴上精确表示无理数的方法，用“两边夹”的方法会求无理数的近似值。

教学过程设计

一、学习新课

1．概念辨析

（一）通过事例说明数轴为实数轴

问题1：每一个有理数都可以用数轴上的点表示，反之数轴上的点是不是都表示无理数呢？无理数可以在数轴上表示出来吗？

1）

在数轴上精确表示2

要求：画数轴，原点、正方向、单位长度三要素。

阅读书上P17操作1，作图并简要说明作图过程。

-1O1234

2）

在数轴上精确表示5

要求：利用33的方格，绘制面积为5的正方形，则边长为5

用圆规截取边长5。

-3-2-1012534

3）

在数轴上表示

C,则d1时，πC

提示：Cd,d

A(O) A’‘‘

A ·

4 3 B 2 -0.5 0 0.5 1

小结：由以上三个操作可知，无理数也可以在数轴上表示，因此数轴为实数轴。

（二）用实数轴解释实数的性质：

类比有理数：有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念和大小比较方法，在实数范围内有相同的意义. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值. 绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数. 实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大.

2．例题分析

（一）比较实数的大小

例题1、比较下列每组数的大小：

（1）5与6；

（2）5与6；

（3）5与6；

思考，除了将实数放在数轴上比较大小，我们之前还有什么方法来比较实数的大小呢？

7与2的大小；15与4.5的大小;37与2的大小；

[说明] 1、在第二小题中，可介绍面积法：面积越大的正方形的边长越长，将5、6分别看成面积为5、6的正方形的边长，然后比较大小.也就是说被开方数越大则方根越大。

（二）借用数轴求两点的距离

问题：本节课进一步感受到数与点能借助数轴达到完美结合，我们能否不用测量而用数字计算出线段的长？

21例题2、有四个实数2、、2、5，说出A、B、C、D对应的数。求32（1）线段OA、OB、OC、OD的长度.（2）求线段BC的长度.

D B O A C

20 1522

32

2[说明]

一是用绝对值的概念解释数轴上对应的实数与距离的关系，学生容易接受. 32二是探索两点的距离与数轴上对应的实数的关系.设计请学生先判断，再引导3分析特征，总结规律，形成公式，感受形与数两相依. 为什么要用数轴表示实数呢？直观性，有序性

（学生自己发现所学知识的用处，能易于接受）

3．问题拓展

问题：3到底有多大？

你能在数轴上标出 3 的大致位置吗？

1.625O11.51.752334

课堂小结

总结本课知识的过程中，需点明三点：

1．

数轴为实数轴；

2．

实数与有理数类比同样有相反数、绝对值，并能进行大小比较. 3．

可以通过“两边夹”的方法确定无理数在数轴上的大致位置。

用数轴上的点表示实数（修改稿）

赵璞

教学目标

1.理解每一个实数都可以用数轴上的点表示，知道数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数，能将一个实数用数轴上大致位置的点表示。

2.知道数的范围扩充后，有理数范围内的绝对值、相反数等有关概念，在实数范围内依然成立，会对实数进行大小比较. 3.经历探索无理数的大小并在数轴上用点表示大致位置的过程，感受数形结合思想。

教学重点及难点

重点：理解无理数能在数轴上表示，理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义. 难点：在数轴上精确表示无理数的方法，用“两边夹”的方法会求无理数的近似值。

教学过程设计

一、学习新课

1．概念辨析

（一）通过事例说明数轴为实数轴

问题1：每一个有理数都可以用数轴上的点表示，反之数轴上的点是不是都表示无理数呢？无理数可以在数轴上表示出来吗？

1）在数轴上精确表示2

（添加了动手操作）

要求：画数轴，原点、正方向、单位长度三要素。

教师下发两张面积为1的正方形，要求学生四人为一组通过拼剪等方法找到2，作图并简要说明作图过程。

【创新点：通过学生动手自主探索研究，解决问题。培养学生将数学问题转化为实际问题和数形结合的思想。】

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2）在数轴上精确表示5

要求：利用33的方格，绘制面积为5的正方形，则边长为5

用圆规截取边长5。

【创新点：培养学生发现解决问题的规律，通过上一题的解题方法，发现规律，进而完成5的探索。】

课后探索：我们发现利用网格可以画出2，5，那你还能利用网格发现其他的无理数吗？

3）

在数轴上表示

提示：Cd,C,则d1时，πC

d-3-2-1012534

A(O) A’‘‘

A ·

4 3 B 2 -0.5 0 0.5 1

小结：由以上三个操作可知，无理数也可以在数轴上表示，因此数轴为实数轴。

【说明】关于问题1中的操作1、3的活动，是为回答一个无理数能否用数轴上的点来表示的问题.操作1选用2，是本章开始已研究过的无理数，根据已学过的知识将它转化为线段长，再在数轴上画出；操作3选用，我们也可以通过圆的周长将它转化为线段长，在数轴上画出.通过这两个实例，可以说明数轴上确实存在与无理数对应的点，说明我们所认识的数轴是实数的数轴.注意，操作1中须回避勾股定理.操作2是一个知识的迁徙，要求学生自己探究，教师做简单提示。

4）3到底有多大？（本内容提前）

之前我们通过图形的方法能够找到一些无理数在数轴上的精确位置。其实有很多时候我们无法很快的借助图形来画出无理数，那么我们可以找出他们的近似值来画出大致位置。

你能在数轴上标出 3 的大致位置吗？

1.625O11.51.752334

【创新点】体现了一个极限的思想。当所得到的区间之间越来越短，逐渐接近0时，就汇聚到了一个点上，也就是要求的这个无理数。通过两边夹逐渐逼近的方法，就可以得到这个无理数的大致位置了。为了培养学生的极限思想，教师可以多让学生思考和研究，从而感受极限思想。

（二）用实数轴解释实数的性质：

类比有理数：有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念和大小比较方法，在实数范围内有相同的意义. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数. 实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大. 21例题：有四个实数2、、2、5，说出A、B、C、D对应的数。

32

D B O A C

20 52

21

（三）距离公式（添加了分类讨论的方法，对板书进行修改）32根据前一道例题，找出任意的两个点，计算他们之间的距离。你认为数轴上的点2之间的距离有几种情况呢？

原点同侧在右AC=OC-OA=2.5-2=c-a 原点同侧在左DB=OD-OB=5原点异侧

AB=2总归公式：AB=ab

[说明]

一是用绝对值的概念解释数轴上对应的实数与距离的关系，学生容易接受. 二是探索两点的距离与数轴上对应的实数的关系.设计请学生先判断，再引导分析特征，总结规律，形成公式，感受形与数两相依. 为什么要用数轴表示实数呢？直观性，有序性

2=a-b 32=b-d 3323

（学生自己发现所学知识的用处，能易于接受）

【创新点】体现分类讨论的思想，这也是初中阶段比较重要的思想之一。学生通过数轴的直观感受，体会两点之间距离有三种情况，从而培养学生善于发现问题的实质并且学会用分类讨论思想解题。在最后的总结中，发现规律，总结公式。

课堂小结

总结本课知识的过程中，需点明三点：

1.数轴为实数轴；

2.实数与有理数类比同样有相反数、绝对值，并能进行大小比较. 3.两点间距离公式：AB=|a-b|

教学反思：

本节新课的主要内容是说明在数轴上也能表示无理数，并且通过数轴的学习学会解决问题的方法，和数形结合和分类讨论思想的渗透。

在课上发现了几个问题，首先对于实数的学习是学生数系的扩充，从有理数到无理数的学习，学生对于数系的扩充有一些疑虑，虽然已经有之前几节课学习，但是对无理数的理解还不够充分；其次要求的问题难度较高比较抽象，学生不能很快反应出问题的解答，从而影响了课程的进度和上课的效率。也就是学生已经知道了大致的概念，但是还不能深入理解，那么课程的侧重点需要既要放在强化和巩固他们的知识又要有所提高和创新。

为了更好的落实这点，我认为需要在课程创新的同时也要稳固好学生的双基，在基本知识的掌握到位的同时再进一步提高，创新的本质还是为了课程服务的。因此与学生一起复习和回忆得到无理数的过程，用实际操作帮助学生从认知角度和感知角度两方面这样既能比较有效的解决学生对得到无理数概念的巩固，又能很快的解决无理数能在数轴上表示这个问题。探究问题的本质是帮助学生更好的理解概念和规律，那么探究的这一面应该交给学生自己来发现规律，学生已经拥有了相应的知识，教师就可以要求学生自己发现和总结，这样的学习比教师讲授式的学习更有效率也更能体现学生的主体。如本节课最后的距离公式的推导，教师可以准备学案，给学生一些数轴，要求在数轴上画点探索两点间的距离公式，自己动手自己推理，最后教师分类总结。体现了学生为主体和分类讨论思想的渗透。