5.4 二次函数与一元二次方程教案及板书设计

苏科版九年级数学（上）

5.4

二次函数与一元二次方程(1) 设计者：江苏省高邮市周山镇初级中学

周春山

教材内容分析: 本节是在学生已学了二次函数图像与性质及用待定系数法确定二次函数表达式之后所学的内容，学生已积累了一次函数与二元一次方程、一元一次不等式间联系的认知经验，本课的教学要使学生理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征，体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法，并进一步地培养学生函数与方程的思想。

教学目标

知识技能：知道二次函数y=ax2 +bx+c （a≠0）与一元二次方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）之间的联系.

数学思考：体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；

问题解决：会求二次函数y=ax2

+bx+c （a≠0）的图像与x轴交点的坐标，理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；

情感态度：体会函数与方程的相互转化,数与形结合的数学思想方法。

教学重点：知道二次函数y=ax2 +bx+c （a≠0）与一元二次方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）之间的联系.

教学难点：体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；

教学过程：

一、引入目标：

1、欣赏漫画，咱俩长得可真像，为什么？

2、兄弟，你跟x轴的事情摆不平的时候，就找我！这是为什么呢？揭示本节课

的学习目标。

设计意图：激发学生的兴趣与求知欲，揭示目标，明确学习方向，增强学生学习的动力。

二：突破目标

（一）1、求二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标.

思考：方程x2-3x+2=0的解与x轴的交点的横坐标是不是同一问题？

2.如图，二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标分别是M（3,0）、N（-1,0）.

则一元二次方程x2-2x-3=0的根是

.

小结：（出示漫画，归纳兄弟俩的联系）

我的图像与x轴交点的横坐标就是你的

. 我的根就是你的图像与x轴交点的

. 设计意图：从“函数值何时为0”着手，沟通二次函数与相应的一元二次方程的关系；通过函数图像揭示相应的一元二次方程的解的几何意义；方程x2-3x+2=0的解与x轴的交点的横坐标是不是同一问题？启发学生思考，易于学生理解本质。

（二）下列二次函数的图像与x轴有交点吗？若有，请求出其坐标，若没有，请说明理由。

y=x2-3x+2；y=x2-6x+9；y=x2-2x+3 师：先假定有交点，则其横坐标应是哪个方程的解？从中你发现了什么？

归纳：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像和x轴有两个交点一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）有2个不相等的实数根△=b2-4ac>0 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像和x轴只有一个交点

一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）有2个相等的实数根△=b2-4ac=0 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像和x轴没有交点一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根△=b2-4ac<0 设计意图：让学生利用从特殊到一般的思想方法进一步讨论二次函数与一元二次方程的联系，把理性的思维建立在感性认知基础之上，并培养了学生的概括能力．

例题：

1.不画图像，你能说出函数y=x2+x-6的图像与x轴的位置关系吗？

2.已知抛物线y=x2-6x+a. （1）若其顶点在x轴上，求a的值；

（2）若其与x轴有两个公共点，求a的取值范围；

（3）若其与x轴没有公共点，求a的取值范围；

变式：已知抛物线y=ax2-6x+1.上面三个小题的答案有没有变化呢？

3、已知：函数y=ax2+x+1的图像与x轴只有一个公共点，求这个函数关系式。

设计意图：进一步提升学生对于问题中的二次函数与一元二次方程的关系的理解及应用能力，求二次函数与一次函数图像交点问题的理解，其本质就是求方程根的问题．

4.二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，

2

（1）方程yax2bxc(a0)的两个根是 ；

（2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .

设计意图：让学生理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝k(k是实数)的交点的横坐标，以进一步丰富对二次函数与一元二次方程联系的本质的更一般性的结论的认识．

三、回扣目标：

谈谈你的收获与体会。

设计意图：回扣目标，体验学习的成功；用精炼的语言，使得学生记忆简便，而且印象加深，同时让学生在总结中反思，完成升华．