5.1 二次函数教学设计及课堂实录

22.1.1二次函数

教学目标

知识与技能：能够表示简单变量间的二次函数关系．理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力. 过程与方法：逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间关系的体验. 情感态度与价值观：进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用．

教学重、难点

教学重点：二次函数实例分析、二次函数定义的理解

教学难点：从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系．

教学方法：“三自一合作”高效课堂模式

教学用具：三角板、直尺、多媒体

教学过程

一、情境引入

导语一:回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课

导语二 :观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课．

导语三 :观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线

…

…

探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？

二、学生先自定目标，老师在展示本节课的“学习目标”。

三、依照“学习目标”自学课本。

四、自学交流展示

二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c （a, b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数．

【注意】①函数y=ax2+bx+c中，a≠0是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数．

②

定义是关于x的二次整式（切不可把“y=x2+五、例题讲解

1．用自变量的二次式表示函数关系 【想一想】①

正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝ ．（用含x的代数式表示）

②

圆的面积为S，半径为R，则S = （用含 R 的代数式表示）

1+3，也当成二次函数) x

【探究 l】多边形的对角线d与边数n有什么关系？

【思路分析】从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对角线？

【答案】从多边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，从n个顶点出发，可以作11·n·（n-3）条对角线.即d=·n·（n-3）. 22【探究2】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍那么，两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定．y 与x之间的关系应怎样表示？

【解析】一年后的产量为20(1+x). 再过一年后的产量为20(1+x)2. 即两年后的产量为20(1+x)2. 【答案】y=20(1+x)2

【点评】此题必须理解每一年的产量. 2．二次函数的定义

观察比较以下关系式

①y=bx2；②d=1123n·（n-3）即ynn；③y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20 222函数①②③有什么共同点与不同点．

共同点：A. 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式 B．等式的右边可统一为“ax2+bx+c”的形式．

六、合作探究，知识升华

类型之一 二次函数定义的判定及其应用

例1下列函数是二次函数的有

A.y=8x2+1 B.y=2x-3 C.y=3x2+13 D.y=

xx2【解析】A 符合二次函数定义，故它是二次函数． B.是一次函数． C,D都出现分式，故C,D都不是二次函数. 【答案】A 【点评】紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②ax2+bx+c是整式（二次三项式）. 变式题 若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b≠1. 类型之一 实际问题中的二次函数

例2 一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形.剩余的部分的面积为ycm2. （1）写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数. （2）当小长方形的长中x的值为2，4时，相应的剩余部分面积是多少？

【分析】可画出示意图，剩余面积=正方形面积-小长方形面积. 解：（1）y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144 ∴y是x的二次函数. （2）当x=2，4时，相应的y的值分别为132cm2，104cm2. 【点评】几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来. 变式题 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式. 【分析】S表=S侧+2S底

解：S侧=2лr·r=2лr2，S底=лr2，

∴S表=2 S底+ S侧=2лr2+2лr2=4лr2. 例2 n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式. 【分析】将n支球队看作是平面内的n各点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，找出共有多少条线段即可. 解：m=111n·（n-1），即m=n2-n. 222七、这节课你有何收获？

（本节课你遇到了什么问题？在解决问题时你采取了什么方法？

八、课堂检测

探究:1. 二次函数y=ax2中，当x=1时，y=2，则a= 2 . 【解析】将x=1，y=2，代入y=ax2中，解得a=2. 2. 已知函数y=(a+2)x2+x+3是二次函数，则常数a的取值范围是 a≠-2 . 【解析】∵二次函数中二次项系数不能为0. ∴a+2≠0,即 a≠-2 3. 下列函数中是二次函数的是 （ C ）

A.y11222x1yx3x1 D.y=x2+x-1-2 B.y=x-(x+1) C.2x21成反比列，y2与x2成正比列，则y与x的函数关系是（ C ）

x【分析】只有C满足二次函数的定义

4. 设y=y1-y2，y1与 A.正比列函数 B. 反比列函数 C. 二次函数 D. 一次函数

【解析】∵y1与1k成反比列，∴可设y11，即y1=k1x（k1≠0）. 1xx

∵y2与x2成正比列，∴可设y2=k2x2（k2≠0）∴y=y1-y2=k1x- k2x2，

∴y是x的二次函数. 九、布置作业

十、板书设计

课后反思

课题

概念

例题

习题