三元一次方程组的解法2教学设计

三元一次方程组的解法教案

鲁新茂

教学目标

1．会解三元一次方程组．

2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．

重点难点

重点

掌握三元一次方程组的解法．

难点

三元一次方程组如何化归到二元一次方程组．

教学设计

一、创设情境，引入新课

老师出示下列问题：

有人问甲、乙、丙三人的年龄，甲说：“我们三个人的年龄之和是26.”乙说：“甲的年龄的两倍再加上我的年龄就要比丙大18.”丙说：“我比甲小1岁．”聪明的你能算出甲、乙、丙的年龄各是多少吗？

学生在老师的引导下独立思考后合作交流，思考以下问题：

1.选用什么数学工具来解呢？

2.设哪些量为未知数呢？

在小组内说一说自己的解法，与组内的同学达成共识．

二、讲授新课

xyz12，①

解方程组x2y5z22，②

x4y.③问题：(1)你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗？

(2)你能解出上面的二元一次方程组吗? (3)如何求方程组中第三个未知数的值？

(4)总结解三元一次方程组的基本思路. (学生通过观察方程组特点，结合上面问题独立思考后写出消元方案，然后分组交流、互相讨论后归纳出三元一次方程组的解法步骤) 解法一：把方程③分别代入①②，得4yyz12，

4y2y5z22.y2,解这个方程组,得

z2.把y=2，z=2代入③，得x=8.

x8,因此,三元一次方程组的解为y2,

z2.解法二:①×5-②,得4x+3y=38，④

x4y,③与④组成方程组,得

4x3y38.解这个方程组,得x8,

y2.把x=8,y=2代入①,得z=2. x8,因此，三元一次方程组的解为y2,

z2.出示引入问题：小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张. 1.题目中有几个未知数，你如何去设？

2.根据题意你能找到等量关系吗？

3.根据等量关系你能列出方程组吗？

请大家分组讨论上述问题.(教师对学生进行巡回指导) 学生成果展示：

1.设1元，2元，5元各x张，y张，z张.(共三个未知数) 2.三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍. xyz12,①3.上述三种条件都要满足，因此可得方程组x2y5z22,②

x4y.③师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

(学生小组交流，探索如何消元) 可以把③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元一次方程组了：

4yyz12,5yz12,即

4y2y5z22,6y5z22.解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x. x8,解得y2,

z2.教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 即

例题解析

3x4z7,①②

例1

解三元一次方程组2x3yz9,?5x9y7z8.③(让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生演板后比较) 解：②×3+③，得11x+10z=35.④

①与④组成方程组3x4z7,x5,解得

11x10z35.z2.1. 3把x=5，z=-2代入②，得y=x5,1因此，三元一次方程组的解为y,

3z2.此方程组的特点是①中不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理.反之用代入法运算较繁琐. 例2

在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，

b，c的值. (师生一起分析，列出方程组后交由学生求解) abc0,①解：由题意，得三元一次方程组4a2bc3,②

25a5bc60.③②-①，得a+b=1，④

③-①，得4a+b=10.⑤

④与⑤组成二元一次方程组ab1,

4ab10.解得a3,

b2把a=3，b=-2代入①，得c=-5. a3,因此b2,

c5.归纳：

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．即

消元 消元

二元一次方程组

一元一次方程

三元一次方程组