一元二次方程的解的估算教学实录与评析

一元二次方程的解的估算

西安铁一中分校 苟冬娟

一 学情分析：

学生的知识技能基础：学生已学过一元一次方程、二元一次方程、分式方程的概念，经历过由具体问题抽象出方程的过程，多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程，因此具备了学习一元二次方程的基本技能，对一元二次方程的解的概念容易理解。同时，在八年级《实数》这一章学习了无理数的估算，初步掌握了估算的方法，形成了估算的意识。

学生活动经验基础：在一元一次方程、二元一次方程、分式方程的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验。同时，无理数的估算的学习使学生具备了估算的活动经验的基础，但由于前面所学的方程都能很容易的解出精确解，在这节课后的连续三节课中，也将学习一元二次方程的三种不同的解精确解的方法，这三种方法和估算相比更轻松方便，从而有些学生会不重视估算的意识和方法。在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二

教学目标：

1经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识，进一步培养估算意识，发展数感。

2 渗透“逼近”思想。

三 教学重点：

1 经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识。

2 用“两边夹逼”法估算方程的解，发展学生的估算意识和能力。

四 学时难点：

对一元二次方程的近似解的估算。

五 教学活动：

第一环节：情景引入

活动内容：1.有349名同学一起去九号宇宙，现有7辆车，每车56个座位，问够不够坐？

2．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量用64000元购进空调的数量相等。求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

仔细观察上题的答卷，发现这位同学先得到了错误答案：冰箱进价20000元，空调进价16000元，然后又改为正确结果2000元和1600元，如果是你，你能发现自己的错误吗？如何发现的？

3 通过以上两个实际问题，你能体会到估算有什么好处吗？

师生活动：对于第1题，学生可这样估算：每车50人，7辆车可坐350人，比实际349名同学人数多，所以够坐。对于第2题，学生可发现答卷中最初算出的电冰箱进价20000元及空调进价16000元比题目中给出的电冰箱销售价2100元及空调销售价1750元大得多，不符合实际，所以可及时发现错误。第2题实际上就是估算了答案的取值范围，若算出的答案不在这个范围，则说明答案错误。

活动目的：上述两个问题都来源于学生身边刚刚发生的实际问题，通过提问学生用估算的方法解决了这两个问题，第1个问题使学生体会到估算能更方便更快捷地解决实际问题，第2个问题使学生体会到估算能及时地让我们发现计算的偏差，防止错误的产生，从而认识到估算是生活的必备技巧，是数学学习的必要技能，学习估算是很有必要的，从而引入今天的课题---一元二次方程的解的估算。

第二环节：探求新知

活动内容1、幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同

，

你能求出这个宽度吗？

在前一节课中，我们已经设所求的宽度为x(m)，得到了方程：(82x)(52x)18 （1）x可能小于0吗？可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由。

（2）你能确定x的大致范围吗？

（3）完成下表：

x (82x)(52x)

0.5

1

1.5

2

（4）在0x2.5范围里，会不会存在另一个方程的解呢？

（5）若由上面的表格没有得到方程的解，我们接下来如何做呢？

师生活动：第（1）小问学生结合实际容易得到x不可能小于0，不可能大于4，不可能大于2．5。第（2）小问学生在第一问的基础上容易得到0x2.5。此时，x的范围已缩小到0x2.5，如何在这个范围里求出宽度呢？在此让学生充分考虑后，学生可得到在这一范围内取值，从而出示第（3）问，完成第（3）问中的表格，估算出方程的解。第（4）问提出后，学生观察表格所呈现的规律，发现随着x的增大，(82x)(52x)逐渐减小，所以在此范围里不存在另一个方程的解。第（5）小问提出后，因为有了前几问的层层深入，学生不难回答出，根据表格，继续缩小x的范围，在新的更小的范围里继续取值，从而一步步逼近精确值。

活动目的：通过问题设置，让学生体会估算一元二次方程的解的过程，即确定大致范围、列表代值计算、两边夹逼，找到更精确的解。本环节设计的问题层层深入，重点是引导学生逐步缩小解的范围，感受到“两边夹逼”的思想是近似计算的重要思想。另外，在第（3）小问中，继续巩固方程解的定义，使学生能够由表格得到方程的解；在第（4）小问中，使学生考虑问题能更加全面，以免漏解。

对于此道题，由于方程的解是整数解，学生能很快通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而可增强学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质

活动内容2、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？

上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x672102，把这个方程化为一般形式为x212x150

2（1）

你能估算出x的整数部分吗？

（2）

你能继续估算出x的十分位吗？

师生活动：通过活动内容1，学生已经总结出估算一元二次方程的解的一般步骤，初步体会到估算的方法，所以第（1）问不再以问题串的形式一步步引导学生思维，而是通过小组合作来解决问题。通过小组活动，学生可充分讨论，取长补短，先得到x的大致范围，再列表得结果。如：梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在上图中，求得ED=6m,而EC＜10m,因此CD＜4m。所以x的取值范围是0＜x＜4。（在估算大致范围时，因为同学们考虑的细致程度不同，所以得到的范围大小不同，但只要正确，都应肯定）。学生列出表格：

x x2+12x-15 1 -2 2 13 3 30 学生由表格可以看出当x=1时，x2+12x-15<0;当x=2时，x2+12x-15>0，所以1

对于第（2）个问题，继续小组合作，在1

第一种如下：

x x2+12x-15 1 -2 1.1 -0.59 1.2 0.84 1.5 5．25 2 13

学生首先在初始范围的中间取值1.5，带入求值后发现x的值应在1到1.5之间，将范围缩小了一半，再在1到1.5之间取1.2，带入求值后发现x的值应在1到1.2.之间，继续再取1.1，带入求值后确定十分为应是1。教师在此肯定此种取值逼近的方法，这种方法能更快的缩小范围。

第二种如下：

x x2+12x-15 1 -2 1.1 -0.59 1.2 0.84 2 13 学生观察发现，当x取1时，x2+12x-15=-2；当x取2时，x2+12x-15=13，-2与13相比，-2离方程右边的0更近，所以学生此时从1.1，1.2开始取值，从而很快地找到的x的更小范围，进而确定十分位应是1。教师在此肯定此种做法，鼓励大家以后在代值时，灵活运用两种方法取值。

活动目的：通过小组合作解决第（1）问且上台讲解第（2）问，使学生更好地掌握一元二次方程的解的估算的方法、步骤，再次体会“两边夹逼”的思想。另外，此题与活动内容1中的题虽然都是估算一元二次方程的解，但有不同，活动内容1中的实际问题学生可很快求出准确解，但此题的解是一个无理数，学生自然无法求出其精确解，对于这个难点的设置，就是为了让学生通过思考、实践，一步步缩小范围，找到需要的精确度的值，更好地体会逼近的思想。同时，此题需要学生自己给x取值，通过实践及交流，学生可以体会到如何取值能更快地找到更小的解的范围。在计算过程中提倡学生使用计算器，鼓励学生合作交流，以取得更好的教学效果。

第三环节：小试牛刀，练习与提高

活动内容：有一根长为4.2米的木料，做成如图所示的矩形窗框,当窗框的一边AB的长为多少米时，这个窗户的面积约为0.9米2？（不考虑木料加工时的损耗和木框所占的面积）

师生活动：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，

并由学生代表上台投影讲解，在讲解时教师通过进一步提问，让所有同学明晰每一步的重点以及需注意的问题。

D C A B 活动目的：为了检测学生对本课教学目标的达到的情况，进一步加强知识的应用训练，我给出了上面的这个题目，由学生独立完成。此题仍是实际问题，让学生进一步感受估算对实际问题的重要性，激发学生产生求解的欲望。另外通过独立完成进一步发展学生的估算意识和能力。此题与前两道题不同之处是，此题有两

个解，进一步提醒学生全面考虑问题，不要漏解。

第四环节：课堂小结

活动内容：通过本堂课你有哪些收获？谈谈你的感想。

师生活动：师生互相交流总结探索估算一元二次方程的解基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。

活动目的：通过让学生分享收获，培养学生回顾思考、归纳概括的能力，也通过这一环节使学生可以互相学习，同时也有利于教师发现本节课的教学目标完成的程度；通过教师的归纳提升，使学生对本节课的知识、方法等有一个整体的认识. 第五节：布置作业

1 习题2.2第1题、第2题、第3题. 2 课本p34-35读一读（用二分法确定一元二次方程的近似解）