1.4.2 圆心在点处且过极心的圆教案和学案内容

第1课时

圆的极坐标方程

学习目标

1、了解极坐标方程的意义. 2、掌握圆的极坐标方程. 3、能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．

[教学重点]圆的极坐标方程

[教学难点]圆的极坐标方程的意义

教学过程

一、复习回顾

（1）极坐标系

（2）圆的一般方程

（3）圆的标准方程

（4）极坐标与直角坐标的互化

提问：以上提问由学生回答

二、问题导学

曲线的极坐标方程

(1)在极坐标系中，如果曲线C上______________的极坐标中________有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点______________，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的____________．

(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤

①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；

②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；

③将列出的关系式整理、化简；

④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．

三、新知引入

圆的极坐标方程

思考1

在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？

例1

解

在圆周上任取一点P(如图)，

设其极坐标为(ρ，θ)，由余弦定理知，

CP＝OP＋OC－2OP·OCcos∠COP，故其极坐标方程为

2r2＝ρ20＋ρ－2ρρ0cos(θ－θ0)．

222提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？

可以验证点O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式. 等式就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式的点都在这个圆上. 思考2

圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？

由学生回答：ρ＝2. 梳理

圆的极坐标方程

圆心位置

圆心在极点(0,0)

极坐标方程

ρ＝r

(0≤θ<2π)

ρ＝2rcos θ

圆心在点(r,0)

图形

－π≤θ<π

22ρ＝2rsin θ

(0≤θ<π)

π圆心在点(r，)

2每种情况由学生进行推导和回答问题。

类型一

求圆的极坐标方程

例1若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程．

解

设P(ρ，θ)为圆上任意一点，

则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP，∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ，即ρ2＝6ρcos θ－5. 反思与感悟

求圆的极坐标方程的步骤

(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)．

(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简．

(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．

3π跟踪训练1

求圆心在C(2，)处并且过极点的圆的极坐标方程

2解：解

如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA. 在Rt△OAM中，

1

3π|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos (－θ)，

23π∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O(0,0)，A(4，)的坐标满足上式．

2由学生回答，并特殊强调，可以根据公式直接进行解题。

1．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是(

) A．3

B.2

C．1

D.2

2

当堂训练答案：

1．D

2.B 3．C

[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标π为(0,1)，化为极坐标为(1，)．] 24．解

在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，由余弦定理可得CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，ππ即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos(θ－)，化简可得ρ2－4ρcos(θ－)＋3＝0. 66π当O，P，C共线时，此方程也成立，故圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－)＋3＝0. 6

2．将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为(

) A．x2＋y2＝0或y＝1

B．x＝1

C．x2＋y2＝0或x＝1

D．y＝1 3．在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是(

) ππA．(1，π)

B．(2，)

C．(1，)

D．(1,0) 22π4．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C(2，)，半径为1，求圆C的极坐标方程．

6

1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别

由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只ππππ，可以表示为，＋2π或要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M4444π，π－2π或－π，5π等多种形式，其中，只有π，π的极坐标满足方程ρ＝θ. 4444442．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．

2