1.3 曲线的极坐标方程优质课教案整理

2017学年第二学期文科数学二轮复习

数学专题复习课课型

数学科组

梁振标

一、课型提炼（课型特点及教学过程）

（一）课型特点：

高考复习课指为学生高考应试而开设的复习课。目前我国大多数学校将数学高考复习划分为三个阶段，也叫三轮复习。第一轮通常采用单元复习形式，第二轮通常采用专题复习形式，第三轮采用综合综合复习。其中，专题复习本质还是一种单元复习，只不过单元包含的范围更大，知识的综合程度更高，但其课型特点特别是课堂教学结构与单元复习课基本一致。因此，明确了单元复习课的特点及其课堂教学结构后，模块复习课和高考复习课的课堂教学结构也就基本清楚了。

高中数学单元复习课通过对某一单元的数学知识进行系统的回顾、整理和应用，已达到巩固记忆和加深理解的目的。高中数学复习课教学中涉及的知识类型主要有三种：数学单元知识结构、数学问题类型图式，结构化策略。

高中数学复习课的教学过程步骤：

（1）明确复习方法与要求

（2）列出所有知识清单

（3）对知识进行分类整理

（4）形成完善的知识结构

（5）回顾数学问题类型图式，进行变式练习

（6）提供知识应用的情境，促进迁移。

（二）教学过程

根据课型的特点，具体教学程序如下：

首先，引起注意与告知目标；

其次，检查学生是否形成合理的知识结构，进一步明确知识间的内在联系；

第三，提供样例，帮助学生回忆本单元主要问题类型图式，包括问题的结构特点、解题方法和解题步骤；

第四，提供有指导的练习，及时反馈与纠正；

第五，课堂总结，布置课外作业。

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2017学年第二学期文科数学二轮复习

二、教学设计

课题

《极坐标与参数方程》复习导学稿（第一课时）

（《人教A版》选修4—4）

【考纲要求】

1.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；能在极坐标系中给出简单图形的方程。

2.理解参数方程和参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。

3.能利用极坐标和参数方程解决有关交点、距离、面积等问题。

【学习目标】

1、能够熟练进行参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标的互化。（概念性知识的运用）

2、能说出极坐标方程中的意义，能说出在跟极点有关的情况下使用其意义。（概念性知识的了解）

3、会借助参数方程或极坐标解决有关的求曲线交点，长度，最值，范围的问题。（程序性知识的运用）

课时安排：2课时

【任务分析】

（一）起点能力分析

学生已经学习了极坐标与参数方程的相关概念，并且对于极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化比较熟练，常用的公式和转化方法都有一定了理解。但涉及综合问题，譬如求最值、距离等问题时，不知该如何处理。由直角坐标转为极坐标时，极角容易找错；极坐标方程中的几何意义理解不够透彻或不知道什么时候使用其几何意义解题。

（二）使能目标分析（寻找“先行条件”，建立逻辑关系）

总目标：复习极坐标、参数方程的定义，正

确利用不同的形式解决最值、距离等问题

目标1，2：熟练进行参数

目标3：会用参数法或

方程与普通方程，极坐标的几何意义求有关

与直角坐标的互化

长度、最值问题

目标3.1：能

目标1.2：能目标1.1：

目标3.2：

将参数方程说出的几会进行点的极

会利用三角转化为普通何意义，并能

坐标与直角坐函数的有界方程或用参写出曲线的

标的互化。

性求最值

数表示一个

极坐标方程

点

根据一个点的能根据熟练写出曲线的极坐标熟练三角函数的合一

方程，并能求出。能用参数表变换，并会求最值。

直角坐标能准

确它的极坐标

示一个点。

（三）目标、教学与测评的一致性分析

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2017学年第二学期文科数学二轮复习

表：目标、教学活动和测评在分类表中的位置

认知过程维度

知识维度

事实性知识

概念性知识

程序性知识

记忆

理解

运用

分析

评价

反馈作业

创造

目标1典例2目标1典例1（2）、变式（1）

（1）

目标2目标3典例1变式（2），典例2（2），变式（2）

归纳出什么情况下使用的几何意义或利用参数求长度或最值：活动1、2

元认知知识

活动3

【教学过程】

一、告知目标，引起注意

教师通过PPT显示教学目标并做简单解释，本节课学习内容有三项：

1.进行参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标的互化

2.能说出极径的几何意义，并说出使用条件

3.借助参数方程或极坐标解决有关的求曲线交点，长度，最值，范围的问题。

二、问题自查（知识回顾）：

1、直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，

x＝ρcos θ，则y＝ρsin θ，

ρ＝x＋y，ytan θ＝x≠0.x222

2、你能快速识别常见曲线的参数方程、极坐标方程吗？例如

①(0)或(0),cosa,sina;cos()a,sin()a是_____极坐标方程；

33②r,2acos(a0),2asin(a0),2acos()(a0),是_____极坐标方程；

③xx0tcos表示曲线__ ______；圆的参数方程：____________ ___；

(t为参数，0）yy0tsinxacos（ab0，为参数）表示曲线_____ ___；

ybsin

三、促进知识的运用与迁移

【典例1】在极坐标系xOy中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，C2的直角坐标方程为：x(y1)1。

(1)求曲线C2的极坐标方程；

（2）射线与C1的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB. 4

【设计意图】先让学生简单回顾直角坐标方程转化为极坐标方程的基本方法，同时也熟悉回顾相关的公式，第二问考察学生是否会利用极径的几何意义解题

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2017学年第二学期文科数学二轮复习

【变式】

1．在直角坐标系xoy中，曲线C1:xtcos,（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为ytsin,极轴的极坐标系中，曲线C2:2sin，曲线C3:23cos．

（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；

（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求AB的最大值．

【设计意图】在典例1的示范下，看学生是否能真正理解极径的几何意义，进一步考察学生利用极径的几何意义，同时结合三角函数的合一变换来求最值。

活动1【归纳总结】

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是立足公式ρ＝x＋y，x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ进行，方程两边同乘以2222cos,sin,或两边平方,构造的形式；参数方程化为普通方程，消参时一般用代入消元法，有时会通过加、减、乘、除、乘方消元；

2．极坐标与直角坐标的互化要注意画图标出点的位置，注意极角的正确取值；

3．跟极点联系或者极角相同时可以利用几何意义解决长度、最值等问题。

【典例2】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为x2，圆M的参数方程为sin()42y2rcos,2(为参数，r0)

2rsin,2(1)求圆心M的极坐标；(2)当r为何值时，圆M上的点到直线l的最大距离为3。

【变式】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cos α，y＝sin α

(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的π正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋＝22. 4(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

【设计意图】典例2主要考察学生是否会利用圆的参数来求解最值问题，本题还可以利用几何法来求解。变式将曲线变为椭圆时，如果采用几何法，会变得很困难，因此可以引导学生类别典例2的参数法，看如何解决该问题。

活动2【归纳总结】

与参数方程有关求最值或范围的解题策略：

运用参数方程将曲线上点的横、纵坐标用一个参数表示，把有关线段、面积等用参数表示成目标函数求解。若把问题转化为直角坐标系的普通方程求解，注意运用数形结合思想（特别是涉及直线与圆的最值问题）

x2y21上的点，则P,Q两点间的最大

活动3【思考探究】设P,Q分别是圆xy13和椭圆422 距离是多少？

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2017学年第二学期文科数学二轮复习

【设计意图】通过前面的学习，学生对有关最值问题的求解有一定的认识，将直线与圆锥曲线的问题换成圆锥曲线之间的问题时，看学生如何转化，检验学生的迁移运用能力。

四、课堂小结（主要由学生完成）

1.如何进行极坐标与直角坐标的转化，参数方程与普通方程的转化。（活动1，2）

2.如何选用极径的几何意义和参数法解决有关长度、最值的问题。 （活动1，2）

五、反馈作业：（教学评价）

x45cost1．已知曲线C1的参数方程为(t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲y55sint线C2的极坐标方程为2sin。

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

22x＝－3＋3t，xy2.已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

43y＝2 3＋t(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；

(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．

3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1和C2的极坐标方程；

（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将l1逆时针旋转得到l2：θ=α+，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．

【设计意图】通过前面两个典例及其变式的学习，利用课后3道练习检验和巩固课堂的解题方法和策略，进一步理解如何利用极径的几何意义和参数法解决相关长度或最值问题。

【教学反思】

这节课是典型的高三第二轮专题复习课，主要采用例规法。由于学生之前已全面学习了极坐标与参数方程的相关知识，包括概念或转化方法，对简单的综合问题有初步认识，常见题型比较熟悉，但方法不熟悉，有关长度最值问题的处理不熟练，没有形成系统的方法，因此老师采用了上位学习模式，通过典型的例子，作出示范，引导学生尝试和归纳，然后再通过变式，让学生迁移应用，进一步完善和巩固方法。该教学设计中学生的学习起点定位准确，教学目标的设置和陈述规范准确，整节课也围绕所设目标层层递进。能设计典型的例题，通过学生动手演练，让学生感受整个解题和思路的形成过程。这种从典型例子出发，通过老师的示范也引导，让学生动手操作，促进学生对方法使用的理解。然后再让学生通过变式演练巩固规则的应用和对定义的理解，在演练过后，让学生再归纳解题的思路或方法的使用条件，使得学生对求相关问题有更深一层的理解，同时也规范学生的格式。题目难度设计较好，先易后难，从特殊到一般再到特殊，但题量有点大，若能删减些，可能会更紧凑，更能突出重点。

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2017学年第二学期文科数学二轮复习

三、配套导学案

《极坐标与参数方程》复习导学稿（第一课时）

一、学习目标：

1、能够熟练进行参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标的互化。

2、了解参数方程中参数的意义，会借助参数方程或极坐标解决有关的求曲线交点，长度，最值，范围的问题。

二、课时安排：2课时

三、问题自查：

1、直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，

则x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

33ρ＝x＋y，ytan θ＝x≠0.x222

2、你能快速识别常见曲线的参数方程、极坐标方程吗？例如

①(0)或(0),cosa,sina;cos()a,sin()a是_____极坐标方程；

②r,2acos(a0),2asin(a0),2acos()(a0),是_____极坐标方程；

③xx0tcos是________参数方程；圆的参数方程：_______________；

(t为参数，为常数）yytsin0xacos（ab0，为参数）是__________参数方程；

ybsin

四、典例讲解：

【典例1】在极坐标系xOy中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，C2的直角坐标方程为：x(1)求曲线C2的极坐标方程；

（2）射线与C1的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB. 4

【变式】

1．在直角坐标系xoy中，曲线C1:2(y1)21。

xtcos,（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为ytsin,极轴的极坐标系中，曲线C2:2sin，曲线C3:23cos．

（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；

（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求AB的最大值．

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2017学年第二学期文科数学二轮复习

【典例2】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为x2，圆M的参数方程为sin()42y2rcos,2(为参数，r0)

2rsin,2(2)求圆心M的极坐标；(2)当r为何值时，圆M上的点到直线l的最大距离为3。

【变式】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cos α，y＝sin α

(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的π正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋＝22. 4(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

x2y21上的点，则P,Q两点间的最大

思考：设P,Q分别是圆xy13和椭圆422

距离是多少？

五、归纳小结：

2221、极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是立足公式ρ＝x＋y，x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ进行，方程两边同乘以2cos,sin,或两边平方,构造的形式；参数方程化为普通方程，消参时一般用代入消元法，有时会通过加、减、乘、除、乘方消元；

2、极坐标与直角坐标的互化要注意画图标出点的位置，注意极角的正确取值；

3、曲线的参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以处理有关曲线上点的坐标问题时用参数方程非常方便。

（1）与参数方程有关求最值或范围的解题策略：

运用参数方程将曲线上点的横、纵坐标用一个参数表示，把有关线段、面积等用参数表示成目标函数求解。若把问题转化为直角坐标系的普通方程求解，注意运用数形结合思想（特别是涉及直线与圆的最值问题）

（2）与参数方程有关求长度（弦长）、面积解题策略：

把问题转化为直角坐标系下普通方程求解，但一般运算会繁琐一些。若运用直线参数方程（特别是涉及直线与曲线（圆、椭圆、抛物线）相交）中参数t的几何意义会比较简便。

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2017学年第二学期文科数学二轮复习

六、反馈作业：

1．已知曲线C1的参数方程为x45cost(t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲y55sint线C2的极坐标方程为2sin。

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

22x＝－3＋3t，xy2.已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．

43y＝2 3＋t(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；

(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．

3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1和C2的极坐标方程；

（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将l1逆时针旋转得到l2：θ=α+，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．

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