1.3 曲线的极坐标方程课堂实录及点评

1.3 曲线的极坐标方程

[读教材·填要点] 1．曲线的极坐标方程

在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有的点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程

(1)当直线l过极点，从极轴到l的角是θ0，则l的方程为θ＝θ0. (2)当直线l过点M(d,0)且垂直于极轴时，l的方程为ρcos θ＝d. π(3)当直线l过点M(d，)，且平行于极轴时，l的方程为ρsin_θ＝d. 2(4)极点到直线l的距离为d，极轴到过极点的直线l的垂线的角度为α，此时直线l的方程为ρcos_(α－θ)＝d. [小问题·大思维] 1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？

提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如，给定曲线ρ＝θ，设点P的一极坐标为π，π，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标44π，9π就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C44上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可．

2．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？

提示：ρ的取值范围是全体实数．

[例1] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：

(1)y＝4x；(2)y＋x－2x－1＝0；

(3)ρcos2222θ12＝1；(4)ρcos 2θ＝4；(5)ρ＝. 22－cos θ[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．

[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝4x，

2版权所有：中华资源库

www.ziyuanku.com

得(ρsin θ)＝4ρcos θ. 化简，得ρsinθ＝4cos θ. (2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＋x－2x－1＝0，

得(ρsin θ)＋(ρcos θ)－2ρcos θ－1＝0. 化简，得ρ－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos22222222

θ＝1，

21＋cos θ∴ρ·＝1，

2即ρ＋ρcos θ＝2 ∴x＋y＋x＝2. 化简，得y＝－4(x－1)．

(4)∵ρcos 2θ＝4，

∴ρcosθ－ρsinθ＝4，

即x－y＝4. 1(5)∵ρ＝，

2－cos θ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2x＋y－x＝1. 化简，得3x＋4y－2x－1＝0.

一、选择题

1．极坐标方程cos θ＝2(ρ≥0)表示的曲线是(

) 2B．两条相交直线

D．两条射线

2π，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)．

242表示两条射线．

222222222222222A．余弦曲线

C．一条射线 解析：选D ∵cos θ＝又∵ρ≥0，∴cos θ＝2．在极坐标系中与曲线C：ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为(

) A．ρcos θ＝2 πC．ρ＝4sinθ＋ 32B．ρsin θ＝2 πD．ρ＝4sinθ－

32解析：选A ρ＝4sin θ的普通方程为x＋(y－2)＝4，ρcos θ＝2的普通方程为x版权所有：中华资源库

www.ziyuanku.com

＝2，圆x＋(y－2)＝4与直线x＝2显然相切．

3．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是(

) A．垂直 C．相交但不垂直 B．平行

D．重合

22

解析：选B 直线θ＝α化为直角坐标方程为y＝xtan α，ρsin(θ－α)＝1化为ρsin 1θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtan α＋.所以两直线平行．

cos α4．过点A(5,0)和直线θ＝π垂直的直线的极坐标方程是(

) 4πA．ρsin＋θ＝5 4π52 C．ρsin＋θ＝42π52

B．ρcos＋θ＝42π52

D．ρsin－θ＝42ππ解析：选C 直线θ＝即直线y＝x，∴过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线方程为44π52. y＝－x＋5，其极坐标方程为ρsin＋θ＝42二、填空题

π5．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点2，到直线l的距离为6________．

π解析：将直线l的极坐标方程ρsin θ＝3化为直角坐标方程为y＝3，点2，在直6π角坐标系中为(3，1)，故点2，到直线l的距离为2. 6答案：2 π6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．

4π解析：∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 4答案：1∶1 7．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．

解析：由ρ＝2sin θ，得ρ＝2ρsin θ，

其普通方程为x＋y＝2y. ρcos θ＝－1的普通方程为x＝－1. 222版权所有：中华资源库

www.ziyuanku.com

x＋y＝2y，联立x＝－1，22

x＝－1，解得y＝1，

3π点(－1,1)的极坐标为2，. 4答案：2，3π

4π8．在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动．当2线段AB最短时，点B的极坐标是________．

解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A1，化为直角坐标得A(0,1)．如图，过A作AB⊥直线l于B.因为△AOB2π为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，

则|OB|＝答案：23π23π，θ＝，故B点的极坐标是B，. 244223π，

42三、解答题

9．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．

解：由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，

即2x－y＋7＝0. 设M(ρ，θ)为直线上任意一点，

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程

2x－y＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0. 这就是所求的极坐标方程．

10．在极坐标系中，曲线C：ρ＝10cos θ和直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A，B两点，求线段|AB|的长．

解：分别将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：

圆C：x＋y＝10x，即(x－5)＋y＝25，圆心C(5,0)．

直线l：3x－4y－30＝0. |15－0－30|因为圆心C到直线l的距离d＝＝3，

5所以|AB|＝225－d＝8. 11．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△22222OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方版权所有：中华资源库

www.ziyuanku.com

程，并判断轨迹形状．

解：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcos θ＝4. 设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)．

∵点A在直线ρcos θ＝4上，

∴ρ0cos θ0＝4.①

π∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝，

2π而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝，

4π∴ρ0＝2ρ，且θ0＝θ－.②

4把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为

π2ρcosθ－＝4. 4π由2ρcosθ－＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4. 43π∴点P轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．

4版权所有：中华资源库

www.ziyuanku.com