2.1.2 曲线的参数方程公开课教案

参数方程教案

第一节 曲线的参数方程

【教学重点与难点】

重点：曲线参数方程的探求及其有关概念；

难点：是弹道曲线参数方程的建立．

【教学过程】

一．

复习：

1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？

曲线方程的概念：(1)曲线C上任一点的坐标（x,y）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C的方程，而这条曲线C就称作这个方程f(x,y)=0的曲线．

2．写出圆心在原点，半径为r的圆O的方程，并说明求解方法．

⊙O的普通方程是：x+y=r； 222⊙O的参数方程是：

xrcos（θ为参数）

yrsin

这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式．

二．新课：

1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y，都是某个变数t的函数xf(t)()，并且对于t的每个允许值，由方程组()所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组()yg(t)就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变量t叫做参变数，简称参数。

2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。

我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？

（1）建系：建立适当的直角坐标系；

以炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系。

（2）设标，设炮弹发射后t秒时的位置为M(x，y)．

(3)列式：即找出x与y之间的关系。

怎样把x、y之间的关系联系起来呢。

这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动．炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动．显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x、y都与时间t有关．

在水平方向的初速度是v0cosα，在竖直方向的初速度是v0sinα. 水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v0cosα; 在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动．所以y=v0sinα·t-1gt22 这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t表示出来了，即把x、y都表示成了t的函数，t应该有一个确定的范围？

令y=0，得t=0或t =∴0≤t≤2v0sin。

g2v0sin，

g当t=2v0sin2vsin时炮弹刚落地。记0为T。

ggxv0cost则

12(0tT)yv0sintgt2这个方程组表示的是弹道曲线的方程。

前面我们举的圆和弹道曲线这两个例子中，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标x,y之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的．在圆的参数方程中旋转角θ参与了方程组的建立，且x、y都是θ的函数；在弹道曲线的参数方程中时间t参与了方程组的建立，且x、y都是t的函数。

xf(t)参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变量t的函数※，yg(t)且对于的t每一个允许值，由※所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则※就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。

参数可以有明确的几何意义(旋转角θ——几何的)，也可以有明显的物理意义(时间t——物理的)．

曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反映变数的实际意义，如弹道曲线中，x表示炮弹飞行的水平位移，y表示炮弹飞行的竖直高度．求出炮弹的最大水平射程和相应的最大竖直高度？

∵当t=2v0sin时炮弹刚落地

g222v0sinv0sin2v0∴x=v0cosα=，2α=，即α=，得x最大=

2ggg4222sin2v0v0sinv0sin1vosin2v0当,t=,y最大=v0sin-g==。

24gg4g2g2g【练习】

1．

动点M作等速直线运动，它在x轴、y轴方向的速度分别为9和12，运动开始时点M位于A（1，1），求M点轨迹的参数方程。

2．

求半径为5，圆心在点（2，-5）的圆的参数方程。

3．

求经过两个不同的N（x1，y1）,M(x2,y2)的直线的参数方程。

4．

物体从H米的高处以初速度v米/秒沿水平方向抛出，写出物体所经过路径的参数方程。

5．

作水平飞行的飞机速度为150米/秒，飞行高度为H=720米，若飞机从这个高度进行投弹。求：

（1）

炮弹离开飞机后的轨迹的参数方程。

（2）

飞机与目标的水平距离多少时，投弹才能命中目标？

（3）

从抛出炮弹到命中的时间？

【小结】

（1）

曲线的参数方程的概念。

（2）

参数方程的优越性：①当建立两个变量之间的直接联系比较困难，可以利用参数建立两个变量之间的间接的联系。②参数一般带有物理意义和几何意义，可以利用它们的物理意义和几何意义来解决实际问题。

【课程后反思】

2．这节课按如下步骤逐渐展开：

(1)圆的参数方程；

(2)弹道曲线的参数方程；

相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单．从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则，缩短了学生思维的“跨度”，加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程(参数方程)，提供了可参照的“样本”．这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益的．

在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直接由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程

第二节

求曲线的参数方程

一。复习：

1．

什么是曲线的参数方程？

2．

样求曲线的参数方程：①建立坐标系，

②选好适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。

③把x,y分别表示为参数t的函数，并且联立。

二．几种常用曲线的参数方程

xx0cost1.直线：

(t是参数）yy0sintα为倾斜角，t为动点M离开定点M 0的位移，当t>0时，M点在M0的上方。当t< 0时，M点在M 0的下方。当t=0时，M点与M0点重合。

xyx1x21，表示过P1（x1,y1）,P2(x2,y2)点的直线的参数方程，（但不包括P2点）；

y1y21nxx0mt是表示过P0（x0,y0），ktg的直线的参数方程；

(t为参数），yy0ntm22当m+n=1,参数|t|表示动点M离开定点M0的距离。

m+n≠1，参数t没有明确的几何意义。

2．圆：xx0rcos，（θ是参数）

yy0rsin3.椭圆：xacos(为参数，表示离心角）

ybsin22xasec4．双曲线：

(为参数）ybtg例1：OA是圆的直径，长是2a，直线OB与⊙交于M1，与经过A点的圆的切线交于B，MM1⊥OA，MB‖OA，以O为原点，OA方向为轴的正方向建立直角坐标系，求M点的轨迹方程。

分析：点M是随OM1的变化而变化，∴设∠xoM1=θ，θ为参数。

解：M点的坐标为（x,y）, 设∠xoM1=θ，θ为参数。

x=OC=|OM1|cosθ=|OA|cosθcosθ=2acosθ; y=AB=|OA|tgθ=2atgθ; 2x2acos

M点的参数方程是y2atg2例2．求抛物线x=4y的过焦点弦的中点的轨迹方程。

分析：过焦点弦的中点是与过焦点的直线的斜率k有关，∴选过焦点的直线的斜率k作为参数。

解：设过焦点的弦的中点M（x,y）, 焦点坐标是（0，1），所在直线的斜率为k，那么直线方程为y-1=kx, 2ykx1→x2-4kx-4=0，由违达定理x1+x2=4k，∴x=x1x2=2k，代入y=kx+1中得y=2k2+1∴过焦点的弦的x24y2中点的轨迹方程是x2k2y2k1

22例3．过M点（2，-1），倾斜角为135°的直线与圆x+y=4相交于A、B两点，求：① AB的中点坐标；②|AM||BM|；③|AB|。

解：①过点（2，-1），倾斜角为135°的直线的参数方程是: 20x2tcos1352t,代入圆方程x2+y2=4, 2y1tsin135012t2得t-32t+1=0,t1+t2=322,t1t2=1 AB中点对应的参数t=t1t2=32,代入直线的参数方程，

222321x211222得，∴AB中点的坐标是(,)：

22y12321222②|AM|·|BM|=|t1t2|=1; ③|AB|=|MB-MA|=|t1-t2|=(t1t2)4t1t2=218414

评注：这里利用了直线的点角式参数方程中的参数的几何意义。

【练习】

（1）下列哪个点在曲线xsin2上（ ）

ycossinA．(1,2)；B．(3,1)；C．(2,4223)

；D．(1,3)。

（2）直线x12t的倾斜角（ ）

y23t2333；C．arctg；D．arctg2。

223A．arctg(); B．arctg5x2cos（3）直线l经过P（-3，2），倾斜角为，且与曲线相交于A、B两点，求：|PA||PB|。

6y4sin（4）已知⊙O的半径为a(a>0)，若以过原点的弦所在直线的斜率k为参数，求圆的参数方程：若以过原点的弦长t为参数，求圆的参数方程。

【小结】

1．样求曲线的参数方程：

①建系：建立适当直角坐标系，

②选参：选择适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。

③设标：设曲线上任意一点M的坐标为（x,y）

④列式：把x,y分别表示为参数t的函数，并且联立。

2．常用曲线的参数方程：

xxx0cost（1）直线：①；②(t是参数）yysint0yx1x2xx0mt1；③

(t为参数），yy0nty1y21（2）圆：xx0rcos222 ，（θ是参数）, →(x-x0)+(y-y0)=ryy0rsin

xacosx2y2(为参数，表示离心角）（3）椭圆：ybsin,→221

abxyxasec（4）

双曲线：；→221

(为参数）abybtg22x2pt（5）

抛物线：,→y=2px y2pt223．参数方程的应用：

①利用直线的点角式参数方程的参数t的几何意义；

②把曲线上的点坐标用参数形式表示。

第三节 参数方程和普通方程的互化

【教学过程】

1．

复习：曲线参数方程的定义。

2．

参数方程与普通方程之间的互化：

参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了．参数方程

参数方程化为普通方程：消参，即消去参数方程中的参数；

普通方程化为参数方程：选参，即通过适当选择参数，将普通方程化为参数方程。

xv0t例1：消去参数t，将曲线的参数方程化为普通方程：。

12yhgt2gx2x解：将x=v0t变为t=，代入2式中，得y=h-2. v02v0xtcos

ytsin例2：已知参数方程(1)消去参数t，将曲线的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？

(2) 消去参数θ，将曲线的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？

x解：（1）从①得tcos2，代入②得：y22sinxtgx，表示直线。

cos22（2）利用三角公式：sinθ+cosθ=1，得x+y=t，表示以原点为圆心圆。

（3）例3：消去参数t，将曲线的参数方程化为普通方程表示的是什么曲线？

xacost(ab0),t[0,2)，并说出方程ybsintx2y2解：三角公式：sint+cost=1，得:221,表示椭圆。

ab22消参的基本方法——①代入消参法；②加减（乘除）消参法

；③利三角恒等变换或代数恒等变换

例4：求下列曲线的所表示的图形：（t是参数）

xt1xcost1

（1）；（2）y2t1ycos2t解：（1）从①得t=x-1，代入②得y=2(x-1)-1=2x-3,注意到t≥0，∴x≥1。

∴参数方程表示射线：y=2x-3,(x≥1)。

利用三角公式：Cos2t=2cost-1，把①化为：cost=x-1，代入②得：y=2(x-1)-1=2x-4x-3, 且cost∈[-1,1]，∴x∈[0,2]，∴参数方程表示抛物线y=2x-4x-3, x∈[0,2]的一部分。

注意；把参数方程化为普通方程要两个方程的等价性，特别要注意参数的范围对x,y的限制。

k(kab)x例5：消去参数k，将曲线的参数方程化为普通方程：k21，并说出方程表示的是什么曲线？

ybkak212222解:

把(3)代入(2)得：x-ax+y-by=0．(4) 它的图形是圆。

xv0cost例6：把弹道曲线的参数方程，化为普通方程。

12(0tT)yv0sintgt222

故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．(含顶点在内的一部分．因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．) x例7：把参数方程化为普通方程y23t1t

14t1t

即3x+5y-11=0是所求的普通方程。

在解题时注意参数t的取值范围，t为不等于-1的实数，即t≠-1，∴x≠-3 3x+5y-11=0(x≠-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4))．

注意：在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小．这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价。

例8．

化下列参数方程为普通方程．

解

：

(1)(x+1)+y=sinθ+cosθ，

所以

(x+1)+y=1，(0≤y≤1)．

2222

所以x-y=4．

22

【练习】

一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．

二、关于t的方程t+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，y∈R，i是虚数单位)有实根，求动点P(x，y)的轨迹的普通方程．

下面是作业题略解．

一、(1)(x-x0)+(y-y0)=t，

以(x0，y0)为圆心，|t|为半径的圆．

(2)y-y0=tanθ(x-x0)，过点(x0，y0)，斜率是tanθ的直线．

(3)2x+y-5=0(0≤x＜3)，缺一个端点的线段．

(4)y-x=4(y≥2)，双曲线的上支．

二、已知方程整理为：

(t+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0 因为x，y，t∈R，

2222222

得4x+y+4x-2y=0为所求．

第四课时 参数方程小结

22xf(t)※，一．参数方程的：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变量t的函数yg(t)且对于的t每一个允许值，由※所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则※就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。

三．样求曲线的参数方程：

（1）建系：建立适当直角坐标系，

（2）选参：选择适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。

（3）设标：设曲线上任意一点M的坐标为（x,y）

（4）列式：把x,y分别表示为参数t的函数，并且联立。

四．常用曲线的参数方程：

x1x2xx0costxxmtx（1）

直线：①；②

(t是参数）1；③yy0nt(t为参数），0yy0sinty1y2y1（2）圆：xx0rcos，（θ是参数）, →(x-x)2+(y-y)2=r2 00yy0rsin22xacosxy（3）椭圆：ybsin(为参数，表示离心角）,→221

ab22xyxasec（4）双曲线：；→221

(为参数）abybtg22（5）抛物线：x2pt,→y=2px y2pt【例题】

例1．

化下列参数方程为普通方程．

解

：

(1)(x+1)+y=sinθ+cosθ，

222

所以

(x+1)+y=1，(0≤y≤1)．

2

所以x-y=4．

22

例3．已知椭圆4x+9y=36，求以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程. 分析：求过已知点P所在的直线方程，关键求直线的斜率。思路：①设斜率；②点差法；③参数方程。

解：①设过点P的直线斜率为k(斜率不存在的情况不可能)，

那么直线方程是:y-1=k(x-2),代入椭圆4x+9y=36中

，得： (4+9k)x-18k(2k-1)x+(2k-1)-36=0. 22222229k(2k1)8x1x22,k∵P是弦的中点∴得

2，9k2492②

点差法：过点P（2，1）的弦AB，A（x1,y1）、B(x2,y2)在椭圆上，

22y1y284x19y136，作差4（x

1+x2）(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, x1+x2=4,y1+y2=2,∴k22xx9124x29y236③参数方程；设直线参数方程x2tcos22，代入椭圆4x+9y=36方程，

y1tsin8. 9得:t+(16cosθ+18sinθ)t+25=0,∵P是的弦中点，∴t1+t2=0, 16cosθ+18sinθ=0,k=tgθ=-222例4：已知椭圆5x+8y=40，求以椭圆的右焦点F作弦AB，使|AF|=2|BF|，求AB所在的直线方程.

例5：圆系C方程是：x+y-4cosθx-4sinθy-4sinθcosθ=0，

（1）

求圆系C的圆心轨迹方程；

（2）

圆系C能否覆盖原点？

例6：求函数f(x)22222sinx2（x≠2kπ，k∈Z）的值域。

cosx1解：f(x)sinx2

cosx1这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cosθ，sinθ)和定点(1，2)直线的斜率取值范围问题．动点P(cosθ，sinθ)的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆(挖去(1，0)点)．如图