2.2.1 直线的参数方程教学设计(第一课时)

§2.2.1直线的参数方程及应用

【学习目标】

1.

掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；

2.

利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；

【学习重点】

1.

直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；

2.

利用直线的参数方程解决有关数学问题；

【学习难点】

1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；

2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题；

【学习过程】

一、学前准备：

1、若由a与b共线，则存在实数，使得 ；且当同向时，|b| |a|；当方向时，|b| |a|；



2、设e为a方向上的 ，则a=︱a︱e；

3、经过点M(x0,y0)，倾斜角为(2)的直线的普通方程为 。

二、新课导学

◆探究新知（预习教材P35～P39，找出疑惑之处）

思考：选择怎样的参数，才能使直线上任一点M的坐标x,y与点M0的坐标x0,y0和倾斜角

联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M与M0可以用距离或线段M0M数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。

如图，在直线上任取一点M(x,y)，则M0M= ，

而直线l的单位方向向量e=（ ， ）,因为M0Me，所以存在实数tR，

使得M0M= ，即有xx0,yy0tcos,sin，因此，经过点

yelMxM(x0,y0)，倾斜角为(x

y2)的直线的参数方程的标准式为：

OM02.方程中参数t的几何意义是什么？

直线上任意动点M(x,y)到定点M0的距离|M0M|________

3.

直线参数方程的一般式：

（1）过点P0(x0,y0)，斜率为kb的直线，记直线倾斜角，则tan

，直线参数方程的一a（）txx0般式是



（t为参数），直线上任意动点到定点P0的距离|P0P|________|t|,

yy（）t0二、直线参数方程的应用

题组一.求直线的参数方程的标准式及t的几何意义的应用

例1：化直线l1的普通方程x3y1＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.

1

【变式】写出经过点M0（－2，3），倾斜角为3的直线l的标准参数方程，并且求出直线l上与点M0相距4为2的点的坐标.

例2：直线错误！未找到引用源。过点P(-1,0),倾斜角为错误！未找到引用源。,且与椭圆错误！未找到引用源。相交于A、B两点. （1）求错误！未找到引用源。的值； （2）求弦长错误！未找到引用源。

题组二.（直线参数方程的非标准式其t的几何意义的应用,弦长,|PA||PA|的值）

例3：（直线非标准，P为起点）

直线错误！未找到引用源。过点错误！未找到引用源。,参数方程为错误！未找到引用源。（t为参数）,与椭圆错误！未找到引用源。相交于A、B两点. （1）求错误！未找到引用源。的值； （2）求弦长错误！未找到引用源。

变式：（直线非标准，P为非起点）

直线错误！未找到引用源。过点错误！未找到引用源。,参数方程为错误！未找到引用源。（（t为参数），与椭圆错误！未找到引用源。相交于A、B两点. （1）求错误！未找到引用源。的值； （2）求错误！未找到引用源。

小结：直线参数方程的一般式是

xx0at

（t为参数），直线上任意两点A,B对应参数分别为t1,t2，则yybt0它们到P0的距离分别为：

|P0A|________|t1|,|P0B|________|t2|,弦长|AB||P0A-P0B|________|t1-t2||P0A||P0B|________|t1|________|t2|________|t1t2|

题组三.直线参数方程中相交弦中点的应用

2

x13t例4：已知直线的参数方程为（t为参数），设直线l与圆x2y24相交于A、B，线段AB的y1t中点为M。

（1）求点M的坐标；（2）点M到定点P（1，1）的距离

变式：经过点M（2，1）作直线交双曲线x2y21于A，B两点，如果点M为线段AB的中点，求直线AB的方程。

小结：中点公式A(x0at1,y0bt1),B(x0at2,y0bt2),则中点M(3|)|P0M|________t1t2|

2练一练：已知直线l过点P（2，0），斜率为4，直线l和抛物线y22x相交于A、B两点，

设线段AB的中点为M,求：

B

(1)P、M两点间的距离|PM|； (2)M点的坐标； M x (3)线段AB的长|AB| 0 P (2,0)

A

点拨：利用直线l的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线l上两点间的距离、直线l上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.

例5：已知直线l经过点P（1,－33）,倾斜角为，

3

3 y

(1)求直线l与直线l：yx23的交点Q与P点的距离| PQ|；

(2)求直线l和圆x2y2＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.

点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.

xx0tcos方法总结：利用直线l的参数方程

（t为参数），给研究直线与圆锥曲线C：F(x,y)=0的位yytsin0置关系提供了简便的方法.

一般地，把l的参数方程代入圆锥曲线C：F(x,y)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，f(t)=0, 1、(1)当Δ<0时，l与C相离；(2) 当Δ＝0时，l与C相切；(3) 当Δ>0时，

l与C相交有两个交点；

2、

当Δ>0时，方程f(t)=0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入l的参数方程即可求的l与C的两个交点A和B的坐标. 3、

定点P0(x0,y0)是弦AB中点

t1+t2=0 tt4、

l被C截得的弦AB的长|AB|＝|t1－t2|；P0A·P0B= t1·t2；弦AB中点M点对应的参数为12；| P0M

2t1t2|=

2【课外作业】

x1t1、线(t为参数)与椭圆x22y28交于A、B两点，则|AB|等于( )

y2

t A 22 B 436 C 2 D

33xx0tcos2、直线

（t为参数）与二次曲线A、B两点，则|AB|等于( ) yy0tsint1t2 A |t1+t2| B |t1|＋|t2| C |t1－t2| D

21x2t23、直线(t为参数)与圆x2y21有两个交点A、B，若P点的坐标为(2,-1),则|PA|·|PB|=

1y1

t22tx6774、过点P(6, )的直线(t为参数)与抛物线y2=2x相交于A、B两点，则点P到A,B距离之积y

t22为

.

5.经过点P(−1，2)，倾斜角为

的直线

l与圆

x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PA ·

PB的值。

4

(x1)2y21，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点，求| F2A|·| F2B|的最大值. 6.已知椭圆43

4