2.2.1 直线的参数方程教学实录及点评

《直线的参数方程》教学设计

抚顺市第十中学 何宽

一、教学目标

知识与技能：通过分析质点在匀速直线运动中时间与位置的关系，了解直线参数方程，体会参数的意义；通过直线的点斜式方程及向量法推导直线参数方程的标准形式与一般形式，理解标准形式中参数t的几何意义，会初步利用参数的几何意义解决问题，体会直线参数方程在解决问题中的作用。

过程与方法：通过直线参数方程的推导与应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。

情感态度与价值观：通过建立直线参数方程的过程，培养学生数学抽象、数学建模以及逻辑推理的能力。

二、教学重、难点

教学重点：建立直线的参数方程。

教学难点：理解参数t的几何意义及其应用。

三、学情分析

学生前面已经学习过参数方程的概念，普通方程与参数方程的互化，体验了参数方程在解决问题中的一些应用。但是，由于学生刚刚接触参数方程的概念，所以对于直线参数方程中参数的选定还是比较困难的，根据确定直线的几何条件联想到向量进而建立联系也是难点。

四、教学过程

复习引入：

问题：选取适当参数，把直线方程y2x3化为参数方程. 【师生活动】教师提问，学生回答

【设计意图】本问题是教材上一节课2.1中的例题，通过学生的回忆，既节省了时间，又让学生体会到直线参数方程对于大家来说是不陌生的，让学生认识到直线参数方程的形式不是唯一的。

探究一：把直线看作质点的匀速运动曲线，建立直线的参数方程

问题：设质点从点M(x0,y0)出发，沿着与x轴成角的方向作匀速直线运动，其速率为v0.（1）写出质点在x轴、y轴上的速度分量；（2）设M(x,y)为t时刻质点所在位置，试用t表示x,y

【师生活动】教师提问，学生思考并回答

【设计意图】从物理的角度引出直线的参数方程，选取时间t为参数，这样可以使学生更深刻且自然的理解参数的意义，若不顾及t的物理意义，则可以在参数t与质点位置(x,y)之间建立一个一一对应的关系。

探究二：利用直线的普通方程，建立直线的参数方程

（一）直线参数方程的标准形式

问题1：已知直线过定点M0(x0,y0)，斜率为k，写出直线的普通方程？

问题2：已知直线的倾斜角为（2），证明：xx0yy0

cossin问题3：令xx0yy0t，用t表示x,y

cossin【师生活动】教师提问，学生思考并共同回答，教师演示幻灯片

【设计意图】通过教师提问，引导学生推导出直线参数方程的标准形式，并在推导过程中，强调参数t是如何选择的，为后面研究参数t的几何意义打下基础。

练习题：

1、直线过点(3,5)，倾斜角为2，求直线的参数方程. 32x1t22、已知直线的参数方程为（t为参数），则直线过定点 ，倾斜角y2t2为

3、下列直线的参数方程中，是标准形式的有

32x1txtx3t52(1)（t为参数）(2)（t为参数）(3)（t为参数）

y1ty24ty2t52【师生活动】第1，2两题，教师提问，学生思考并回答；第3题，同桌互相讨论，并找代表回答。

【设计意图】通过练习题使学生进一步熟悉直线参数方程的标准形式，使学生达到给条件会代入公式写出参数方程，给出参数方程的标准形式会得出定点坐标及直线的倾斜角，会区分给出的直线的参数方程是否为标准形式。

（二）参数t的几何意义

问题：设参数t对应点M(x,y)，A(x,y0)，用x,x0,t表示M0A，MA，M0M

【师生活动】教师边提问，边演示幻灯片，学生共同回答

【设计意图】通过提出问题，引导学生一步一步得出直角三角形的三边长，进而利用勾股定理推导出参数t的几何意义：M0Mt

例1、设直线l1过点A(2,4)，倾斜角为5.（1）求l1的参数方程；（2）设直线l2:

6xy10，l2与l1的交点为B，求点B与点A的距离. 【师生活动】教师提问，学生独立思考并回答，并对学生给出的不同的解题方法进行比较

【设计意图】通过问题的探索解决，进一步帮助学生理解直线参数方程t的几何意义，感受运用参数方程解决问题的优势。

探究三：用“向量法”建立直线的参数方程

（一）直线参数方程的一般形式

问题：设直线过点M0(x0,y0)，且与平面向量a(l,m)平行，在直线上任取一点M(x,y).（1）写出M0M的坐标；（2）证明：xx0yy0t，用t表示x,y

lm【师生活动】教师提问，学生思考并回答

xx0yy0

（3）令lm【设计意图】通过教师提问，引导学生推导出直线参数方程的一般形式，并在推导过程中，强调参数t是如何选择的，与标准形式中的参数t进行比较。

（二）直线参数方程的标准形式与一般形式的比较

问题1：两种方程中，形式有什么区别？参数t是如何选择的？

问题2：一般形式中，参数t是否具有标准形式中的几何意义，即是否满足M0Mt？

问题3：一般形式中的l,m满足什么条件时，方程是标准形式？

问题4：如何将一般形式化为标准形式？

【师生活动】教师提问，学生讨论，找学生代表回答

【设计意图】使学生认识到直线的参数方程还有其他形式，且参数t的意义也会随之改变。

例2、设直线的参数方程为x53t（t为参数）.（1）求直线的直角坐标方程；y104t（2）化为直线参数方程的标准形式. 【师生活动】教师提问，学生思考并回答

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的普通方程，参数方程的标准形式以及参数方程的一般形式之间的区别与联系。

课堂小结：

1、直线参数方程的标准形式及参数t的几何意义

2、直线参数方程的一般形式

【师生活动】教师提问，学生思考并回答

【设计意图】通过课堂小结，进一步突出教学重点，加深对直线参数方程的理解

布置作业

教材34页，练习2