1.4.1 圆心在极轴上且过极心的圆教学设计思路

圆的极坐标方程（一）教学设计

呼铁二中

张颖

（一）教学目标

1．知识与技能:掌握圆的极坐标方程和直角坐标方程的相互转化.

2. 过程与方法:让学生从已有的知识出发,共同探究圆的极坐标方程，引导学生观察，推导极坐标方程。

3．情态与价值：培养学生转换方程的能力；培养学生探索数学规律的数学思想能力。

（二）教学重、难点

重点：掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程. 难点：求简单图形的极坐标方程. （三）学法与教学用具

学法：引导学生首先通过直角坐标方程和坐标变换公式，得到圆的极坐标方程，在极坐标系下利用解直角三角形验证圆的极坐标方程；再通过例题掌握圆的极坐标方程和直角坐标方程的相互转化，最后进行相关练习。

教学用具：投影仪

（四）教学设想

[复习引入]

1、极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是

(x, y)，极坐标是

(ρ,θ)，则

M2x2y2

或

ytanxsxco

ysin师：极坐标与直角坐标的互化有没有条件？

2、互化公式的三个前提条件：

（1）极点与直角坐标系的原点重合; （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; （3）两种坐标系的单位长度相同. 练习：将下列直角坐标转化为极坐标. （1）2，2

（2）1,3

（3）2,0

由学生自做，教师提问。

解：（1）22，4

（2）2，

（3）2,0

43[探究分析] 师：建立直角坐标系可以求曲线的直角坐标方程，建立极坐标系可以求曲线的极坐标方程吗？

生：可以，我们之前已经研究了一些曲线的极坐标方程。

探究一：已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？

生：以圆心为极点建立极坐标系，圆的极坐标方程最简单. 师：此时，圆的极坐标方程是什么？

生：a

y

师：我们可以通过圆的直角坐标方程和坐标变换公式得到圆的极坐标方程吗？

生：以圆心为原点建立直角坐标系，可得到圆的直角坐标方程x2y2a2，

利用坐标变换公式可得2a2，即a.

一、圆心在极点的圆

O

x

02

1、圆心为（0,0），半径为a的圆，其极坐标方程为a，注意：当0或2时，表示同一点（a,0）. 探究二：圆心在极轴上且过极点的圆

师：那么圆心在极轴上且过极点的圆的极坐标方程该如何求得呢？

生：可通过圆的直角坐标方程和坐标变换公式得到此圆的极坐标方程.

师生共同研究：如图所示，建立直角坐标系，圆的圆心为（a,0）,半径为a，

则圆的直角坐标方程为xay2a2，即2y

x2y22ax，

利用坐标变换公式可得2acos，即20或2acos，

因为0表示极点，也满足方程2acos，

所以可得圆的极坐标方程为2acos. 师：若以圆上一点O为极点，O与圆的圆心所在射线为极轴建立极坐标系，则如何直接求圆的极坐标方程？

如图所示，设圆的动点为M（，），连接OM和MN, 可知OMMN，

O

a

,

0



x

M

,在OMP中，ON=2a,OM=,MON=,则有O

a

,



N

x

0

2acos，

22. 二、圆心在极轴上且过极点的圆

1、圆心为（a，0）(a>0)，半径为a的圆，其极坐标方程为2acos，注意：当22. 2或2时，表示极点. [例题应用]

例1、求圆心在点(3，0)，且过极点的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程. 解：由题意可知，圆的极坐标方程为6cos，变形为26cos，

2

2，由坐标变换公式，得x2y26x，即x3y29. 2活动：学生自做练习1 练习1、求下列圆的极坐标方程. (1)圆心在点(5，0)，且过极点; (2)圆心在点(4，0)，且过极点; (3)圆心在极轴上，圆过极点及点(2，0). 解：（1）10cos，22222

；228cos，；

32cos，. 例2、将圆的直角坐标方程xy4x化为极坐标方程，并说明圆心和半径. 解：由坐标变换公式，得4cos，

222即4cos，22，其圆心为（2，0），半径为2. 活动：学生自做练习2。

练习2、将下列圆的直角坐标方程化为极坐标方程，并说明圆心和半径. （1）x2y25x

2x6y236

2解：（1）5cos，2222，其圆心为（55，0），半径为；

22212cos，，其圆心为（6，0），半径为6. 例3、从极点做圆2acos的弦，求各弦中点的轨迹方程. 解：设圆上一点为P,，所求曲线上动点M的极坐标为r,，

1r2r2，即则有

①



将①代入圆的方程，得

2r2acos

即racos，22，

这就是所求曲线的轨迹方程

[巩固练习]

1、在极坐标系中，曲线4cos上是围成的图形面积为（

）

A、4

B、16

C、

D、4

答案：D 2、化极坐标方程2cos20为直角坐标方程，为（

）

A、x2y22y或x2y20

B、x2y22y

C、x2y22x或x2y20

D、x2y22x

答案：C 3、在极坐标系中，若过点M（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos于A,B两点，则|AB|=（

）

A、22

B、23

C、32

D、33

解：如图所示，圆心为（2,0），连接AC，则有|AC|=2，|CM|=1，

故|AM|=22123，|AB|=23.

答案：B

4、在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos交于A、B两点，则|AB|=________. 解：如图所示，圆的极坐标方程可化为x1y1，22A

O

C



2

,0



M

x

B

y

B

C

1

,0



x

O

A

圆心为（1,0），

直线的极坐标方程可化为x3y10，

直线过圆心，则|AB|=2 5、在极坐标系中，设圆3上的点到直线cos3sin2的距离为d，求d的最大值. 

解：圆的极坐标方程可化为x2y29，

直线的极坐标方程可化为x3y20

圆心（0,0）到直线的距离为2213213，

所以直线与圆相交. 圆上的点到直线距离最大值为1+3=4. 师：圆上的点到直线距离的最小值呢？

生：圆上的点到直线距离的最小值为3-1=2 [课堂小结] 02

1、圆心为（0,0），半径为a的圆，其极坐标方程为a，注意：当0或2时，表示点（a,0）. 2、圆心为（a，0）(a>0)，半径为a的圆，其极坐标方程为2acos，注意：当22. 2或2时，表示极点. 3、圆的极坐标方程（圆的半径为a）

圆心位置

极坐标方程

图形

极点（0,0）

a，02

O

x

圆心为（a，0）且圆过极点

2acos，22

O

x

思考：在极坐标系中，若圆的圆心为a,，且圆过极点，则圆的极坐标方程是什么？

[作业]P15 1、2