建立一元二次方程解决几何问题教学设计(第一课时)

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应用一元二次方程

第1课时

利用一元二次方程解决几何问题

一、基本目标

1．会根据几何问题中的数量关系列一元二次方程并求解．

2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．

3．经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用．

二、重难点目标

【教学重点】

1．掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．

2．列一元二次方程解决几何问题．

【教学难点】

利用一元二次方程解决实际问题．

环节1

自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P52～P53的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．列方程解应用题的一般步骤：

(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；

(2)“设”：设元，也就是设未知数；

(3)“列”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；

(4)“解”：求出所列方程的解；

(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题有意义；

(6)“答”：写出答案．

2．解决与几何图形有关的一元二次方程的应用题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找它们之间的关系，从而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．(精确到0.1 cm，3≈1.73)

【互动探索】(引发学生思考)要设计书本封面的长与宽的比是多少？正中央矩形的长与宽的比是多少？若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长和宽怎样表示？

【解答】设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为(27－18x) cm，宽为(21－14x) cm. 根据等量关系：中央的矩形的面积是封面面积的四分之三，可列方程为(27－18x)(21－314x)＝×27×21. 4整理，得16x2－48x＋9＝0. 6－336＋33解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)．

446－339x＝9×≈1.8(cm) 46－337x＝7×≈1.4(cm) 4故上、下边衬的宽均为1.8 cm，左、右边衬的宽均为1.4 cm. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是找到等量关系，利用面积之间的关6＋33系列方程求解，同时要明白x2＝为什么不符合题意，且本题最后结果应精确到0.1 cm. 4【例2】某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底宽比渠深多0.4 m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

【互动探索】(引发学生思考)(1)怎样用渠深表示上口宽和渠底宽，怎样计算梯形面积？(2)渠道的体积怎样计算？

【解答】(1)设渠深为x m，则渠底宽为(x＋0.4) m，上口宽为(x＋2) m.

1依题意，得(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6，

2整理，得5x2＋6x－8＝0，

4解得x1＝＝0.8，x2＝－2(舍去)，

5∴上口宽为2.8 m，渠底宽为1.2 m. 1.6×750(2)如果计划每天挖土48 m3，需要＝25(天)才能挖完渠道．

48【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握梯形面积的计算方法，正确用未知数表示出相关数量．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．从正方形铁片上截去2 cm宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48 cm2，则原来的正方形铁片的面积是(

D

) A．8 cm C．8 cm2

B．64 cm D．64 cm2

2．将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是(

A

) A．7 m C．9 m B．8 m D．10 m 3．如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．(精确到0.1 cm)

解：横彩条宽为1.8 cm，竖彩条宽为1.2 cm. 教师点拨：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得(30－4x)(2011－×20×30. －6x)＝44．用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2. (1)求此长方形的宽是多少？

(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？若能，说明围法；

(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x( cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大？最大面积为多少？

解：(1)5 cm. (2)不能．理由：设长方形的宽为x cm.若能围成一个面积为101 cm2的长方形，则有x(20

－x)＝101，即x2－20x＋101＝0.由于Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．

(3)S＝x(20－x)＝－x2＋20x.当x＝10时，S的值最大，最大面积为100 cm2. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.

【互动探索】怎样用AB、BC表示矩形花园的面积，AB与BC之间的数量关系是怎样的？BC还应满足什么条件？

【解答】设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m. 根据题意可得，x(50－2x)＝300. 解得x1＝10，x2＝15，

当x＝10时，BC＝50－10－10＝30(m)＞25 m，

则x1＝10不合题意，舍去．

故可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要注意检验方程的根是否符合实际问题．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；

(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；

(3)“解”，即求出所列方程的根；

(4)“检验”，即验证是否符合题意；

(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．

请完成本课时对应训练！

第2课时

利用一元二次方程解决营销问题

一、基本目标

1．会根据具体营销问题中的数量关系列一元二次方程并求解．

2．经历分析和解决营销实际问题的过程，进一步体会一元二次方程的数学建模作用．

二、重难点目标

【教学重点】

1．进一步理解并掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．

2．列一元二次方程解决营销问题．

【教学难点】

利用一元二次方程解决营销实际问题．

环节1

自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P54～P55的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

营销问题中的数量关系：

(1)单件商品利润＝售价－进价. 利润售价－进价(2)利润率＝＝. 进价进价(3)售价＝进价×(1＋利润率) (4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后可得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%) 【互动探索】(引发学生思考)设这种存款方式的年利率为x，第一次到期后获得的利息为多少元？第二次存入本金为多少元？第二次到期后获得的利息为多少元？

【解答】设这种存款方式的年利率为x，则第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是(1000＋2000x·80%)元；第二次到期后获得的利息为(1000＋2000x·80%)x·80%元．

根据题意，得1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，

整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，

即8x2＋15x－2＝0，

解得x1＝－2(舍去)，x2＝0.125＝12.5%. 即所求的年利率是12.5%. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要准确表示出各数量关系，找出等量关系，列出一元二次方程．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6125元，每件商品应降价(

B

) A．3元

C．2元

B．2.5元

D．5元

教师点拨：设每件商品应降价x元，则每件的利润为(60－40－x)元，每星期卖出(300＋20x)件．根据题意，得(60－40－x)(300＋20x)＝6125. 2．某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为(

D

) A．20%或－220% C．－220% B．40% D．20% 教师点拨：设每年投资的增长率为x.根据题意，得5(1＋x)2＝7.2. 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？

解：应将销售单价定为56元．

教师点拨：设每件降价x元，则每件销售价为(60－x)元，每星期销量为(300＋20x)件．根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6080，解得x1＝1，x2＝4.因为在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取x＝4.所以定价为60－4＝56(元)．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例2】有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：

(1)若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；

(2)若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？

【互动探索】(1)怎样计算在甲、乙两家公司购买的费用？(2)把总价7500代入甲、乙两

公司的计算方法，看哪个适合题意，同时还要注意什么问题？

【解答】(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6×(800－20×6)＝4080(元)；

在乙公司购买需要用75%×800×6＝3600(元)．

∵3600元＜4080元，

∴应去乙公司购买．

(2)设该单位购买了x台，若在甲公司购买则需要花费x(800－20x)元；若在乙公司购买则需要花费75%×800x＝600x(元)．

①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，则有

x(800－20x)＝7500，

解得x1＝15，x2＝25. 当x1＝15时，每台单价为800－20×15＝500(元)＞440元，符合题意；

当x2＝25时，每台单价为800－20×25＝300(元)＜440元，不符合题意，舍去．

②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有

600x＝7500，

解得x＝12.5，不符合题意，舍去．

即该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费＝单价×数量，这一等量关系，解决此题就会比较容易．注意不要忽视了单价不低于440元这个条件．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 营销问题中的数量关系：

(1)单件商品利润＝售价－进价．

利润售价－进价(2)利润率＝＝. 进价进价(3)售价＝进价×(1＋利润率)．

(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量．

请完成本课时对应训练！