一元二次方程的概念教学设计案例

“一元二次方程--认识一元二次方程”教学设计

宁夏省银川市西夏区华西中学吴文庆

【简介】

自我校2014年加入“思维发展联盟校”以来，通过直接思维课、融入思维课的学习，目前学生已经能够通过思维导图，把看似分散的知识点连成线、结成网，使知识系统化、规律化、结构化。本教学设计将以北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》第一节认识一元二次方程第一课时为例，探索思维工具在初中数学教学中的应用。

【前期分析】

一、教学内容分析

“认识一元二次方程”这一课教材通过从生活中的实际问题，抽象概括出一元

二次方程这一数学模型的过程，使学生掌握利用一元二次方程解决问题的一般步骤

及方法，并能通过对比、猜想、验证总结得出一元二次方程的定义及特点。

二、学习者分析

本节课是九年级上册第二章内容，在这之前，学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程方程组、分式方程这三种方程模型，具备了一定的利用方程思想来解决实际问题的意识和能力。而且二元一次方程的现实背景在生活中更为常见，也与学生的日常生活联系更为紧密，学生理解起来不会有太多的困难。但是，一元二次方程的实际应用背景较为复杂，学生在构建模型时会有一定的困难，所以教师应当通过借助思维工具来帮助学生进行分析解决。

三、教学重难点分析

1、学习重点

（1）、一元二次方程的定义；

（2）、一元二次方程的一般形式。

2、学习难点：如何把实际问题转化为数学方程

【教学目标】

知识目标

1、理解一元二次方程的定义

2、会判断满足一元二次方程的条件

技能目标

掌握用一元二次方程来解决实际生活中的问题

思维目标

借助思维工具帮助学生养成良好的思维习惯，提高学生的总结归纳能力

借助双气泡图帮助学生更有效的认识一元二次方程。

【教学过程】

一、前置准备：

师：出示两个问题，引导学生回顾思考

1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？

2、多项式2x2-3x+1是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？

（生：独立思考后举手回答）

设计意图：本节课是通过方程思想得到新的方程，而且对一元二次方程的认识主要是对二次项、一次项、常数项的细化，所以为了更好地衔接前后知识，特以两道小题作为引课。

二、自学探究： 理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式。

师：小明家刚买了新房，，今年暑假小明一家都在忙着装修。一天，小明的爸爸给小明出了几个问题：

问题一、爸爸问小明“昨天我买了长、短两种水管共40根，长水管12元一根，短水管7元一根，一共付了370元，你知道我买的长水管有多少根吗？”

（生：独立思考，借助思维工具帮助自己分析问题）

设计意图：从身边的实际问题入手，激发学生的求知欲望。借助导图分析问题，有助于帮助学生建立有效的解题思路，拓展学生的思路。

师：问题二、爸爸又问小明“我们打算在客厅四周铺上等宽的黄色大理石，中间铺上浅色地砖（如图1）。客厅的长为6米，宽为4米，中间浅色地砖的面积为20平方米。你知道黄色大理石的宽度吗？”

思考：

这个问题可不可以用方程来解决？为什么？

如果设黄色大理石的宽度为x米，那么浅色地砖的宽为 长为 根据题意可得方程为： 图一 图二

问题三：

爸爸指着厨房的图纸对小明说“厨房的地面是正方形，我打算先在地上全部铺上地砖，然后一面靠墙做一排橱柜（如图2）。地砖的费用加上铺设的费用为每平方米100元，橱柜的价格为每米1200元，橱柜的安装费用为300元。装潢公司告诉我以上项目的总费用为4000元，你能算出厨房的边长吗？” 问题四：

正在这个时候，一个工人拿着一根水管想进家门，横着进比门框长1米，竖着进比门框长0.5米，沿着两个对角斜着刚好能进去，你知道这根水管的长度吗？

思考：这个问题如果还可以用方程来解，那么他的未知数和等量关系又是什么呢？

如果设水管的长度为x米，那么你可以用含x的代数式表示门框的哪些量？ 最后你得到的方程是： （生：独立思考后小组交流总结）

设计意图：通过相关实际背景下的问题串，更容易使学生将生活问题数学化，从而调动学生的主动学习兴趣。同时，在具体问题中也对应了面积与方程、数字与方程、勾股定理与方程的衔接，达到了课标的要求。

三、合作交流，得出结论：

师：1、请观察我们刚得到的四个方程，他们有什么共同的特征？

2、请观察我们刚得到的四个方程，他们有什么不同的地方？

先请大家把这四个方程化简，使方程的右边等于零。

一次两项式

解决实际应用问题

二次三项式

一次项系数不为零

未知数最高次数为1一个未知数

未知数最高次数为2 一元一次方程

都是整式方程

一元二次方程

二次项系数不能为零

（生：借助双气泡图分析展示，小组讨论后得出结论）

设计意图：通过小组合作交流的形式得出一元二次方程的定义，培养了学生的合作意识，加强了学生的归纳概括及总结的能力。通过借助思维工具进一步深化一元二次方程的概念，使学生掌握如何对概念的理解记忆的有效方法。

四、当堂训练：

师：1、判断下列方程哪些为一元二次方程？ 2x5x2(3)2x25xy6y20(1)x29(2)y2(4)0(5)x22x31x22(6)2xx210 2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、

一次项系数和常数项： 方程

3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x2=0 一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

3、有一幅名叫“难题”的俄罗斯名画，

画的是一个真实的故事：拉金斯基是一位数学教授，102112122132142365他自愿来到农村当一名普通教师，黑板上就是他编的一道题， =？22222你是如何思考的？小明发现在解这个问题中有1011121314365，所以答案就直接说出是2.做到这里，小明就想能否找到其他的连续五个整数，使前三个的平方之和等于后两个的平方之和。从而就和拉金斯基一样出个类似的题目呢？

（生：对立思考，举手回答）

设计意图：通过三道小题，回顾了本节课的主要内容，加深了学生对一元二次方程的理解，同时及时的反馈练习有助于学生检测本节课的学习质量，也能通过检测感受到新知识的喜悦。

课堂小结：

师：1、通过本节课的学习，你有哪些收获？

2、用方程解决实际问题的关键是什么？

3、什么是一元二次方程？

（生：小组合作交流讨论，利用导图梳理本节知识）

设计意图：通过小组交流评价，提高了课堂教学效率，培养了学生的归纳总结能力。同时也使一部分没有吃透新课的学生，有了再认识的机会。借助导图梳理知识结构，有助于学生养成良好的思维习惯，形成有效的数学思维能力。

作业布置：

课本2.1知识技能第1、2两题

你能否利用方程：x2+12x-37=0估计出小明家厨房的边长吗？

设计意图：通过分层作业布置，有助于不同层次学生的学习，同时也为下一节课打下基础。

【课后反思】

本课课题是《认识一元二次方程》，课本从解决地毯花边的宽度入手，引入了数字关系与方程、勾股定理与方程，从而得倒一元二次方程这一数学模型。我在设计本节课时，紧扣课标，从更符合我校学生实际的家庭装修问题入手，更容易激发学生的求知欲和好奇心。在例题设计时，学生列出的方程先是一元一次方程，随后用同样的思考方式得到的却是一元二次方程，从而很好的从一次方程到二次方程的过渡，也使学生理解方程在实际生活中的重要作用。

本节课学习中存在三种相互渗透与相互支持的不同的知识：概念性知识、技能和解决问题策略性知识。与之相对应有三种类型的数学学习：概念性学习、技能性知识的学习与解决问题

的学习，这都给学生的学习带来了困难。因此，本节课我借助思维工具，把知识点连成线，结成网，使本节课的知识系统化、规律化、结构化从而形成一个完整的知识框架。同时思维导图的融入也为学生营造了一种平等、轻松、新颖的合作交流的学习氛围，增强了学生的学习兴趣。

通过本节课的教学，发现设计的问题有些多，学生在课堂上并没有完全消化。而且把实际问题数学化的过程完全交给学生有些难度，在这一块用的时间较多，导致在小结交流的环节有些匆忙，并没有给更多的学生发言的机会，在以后的教学中应注意改进。