一元二次方程的概念优秀教学设计

1．认识一元二次方程（一）

教材分析

一元二次方程是中学数学的一个重要内容之一，在初中数学中占有重要地位。从知识的发展来看，一元二次方程的学习，是一元一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。从知识的横向来看，一元二次方程的学习对其它学科也有重要的意义，比如物理中的变速运动等问题就要通过解一元二次方程来解决。这节课是一元二次方程的概念课，通过丰富的实例，抽象出一元二次方程的概念。本节课的教学不仅使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，而且提高了学生分析、比较、抽象和概括的能力。为接下来的学习起到很好的铺垫作用

学情分析

九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有很大提高。由于他们有强烈的求知欲，当遇到新的问题时，会自然的产生进一步探究的欲望。而我所教（11）班是年级中一个普通班，学生数学底子薄，基础差，学生由于学习困难，基础差，没有自信，也就对数学的学习兴趣越来越弱，有人甚至要放弃对数学的学习，作为他们的老师，首先培养他们自信心，启发他们对数学的喜爱，慢慢培养他们的自信心，使数学基本概念、基本运算方法悄然走进学生的生活、走进他们对知识的运用中去。

教学目标

一、知识与技能：

1.理解并掌握一元二次方程的概念，知道一元二次方程的一般形式;

2.会把一个一元二次方程化为一般形式，会正确地判断一元二次方程的项与系数；

3.通过本节课的学习，培养学生观察、比较、分析、探究和归纳的能力。

二、过程与方法

1.

在回顾一元一次方程的概念的基础上，让学生通过分析实际问题中的数量关系列出方程，从而引导他们发现问题，然后通过自主探究和合作交流，抽象出一元二次方程的概念；

2.

借助于多媒体从实际问题抽象出概念，在通过巩固训练、回顾梳理、拓展提高到作业布置，完成本节课的教学

三、情感态度与价值观

1.

通过本节课的学习使学生认识到数学来源于生活实践，又反过来作用于生活的辩证唯物主义观点，激发学生学数学、用数学的意识；

2.

通过本节知识的学习，使学生认识到知识的产生、变化和发展的过程。

教学重点和难点

重点：一元二次方程的概念及一般形式。

难点：1.由实际问题向数学问题的转化过程。2.正确识别一般式中的“项”及“系数”。 教学过程：

一、创设情境，引入概念 问题情境1为了建设美丽校园,学校决定修建一个花圃,数学活动小组来到操场进行实地测量。教师用微视频展示数学活动小组提出的问题:在一块长30米、宽20米的矩形草地上,沿着长边修一条路,剩余的种花。如果种花的面积达到450平方米，那么这条路该修多宽呢？

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活动目的：展示学生身边的数学问题，显得特别亲切自然。学生已经学习了一元一次方程及相关概念，问题1的目的是为了复习巩固一元一次方程，为本课新知的学习做好铺垫。

问题情境2在一块长30米、宽20米的矩形草地上,沿着长边和短边各修一条路,路宽相等，剩余的种花。如果种花的面积达到450平方米，那么这条路该修多宽呢？

学生独立思考列出方程。教师引导学生将方程化简，然后观察。

活动目的：通过图形的变化，由一元一次方程解决相关的实际问题到引导学生得出新的一元二次方程，学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程。

二、拓宽情境，形成概念

（一）生活中的数学问题1 在设计人体雕像时（见右图），使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部(全身）的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像高2米，那么它的下部应设计为多高？

学生独立思考，找出题目中的等量关系，建立方程。教师引导学生将比例变形为等积式，再将方程化简。

（一）生活中的数学问题2 学校要组织一次篮球比赛，采用单循环比赛形式（每两队都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个球队参赛？

学生独立思考，遇到困难与同桌进行讨论，最后分析展示结果。教师引导学生将方程化简。

活动目的：再次展示生活中的数学问题，让学生体会一元二次方程应用的广泛性，同时达到形成概念的目的。

总结归纳

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

1.请同学们观察前面列出的三个方程x2-50x+150=0、x2-2x+4=0、x2-x-56=0，看看它们有什么共同特征？

2.这类方程和我们学过的哪种方程类似？

3.这类方程与一元一次方程有什么区别呢？ 4.你能类比一元一次方程，给这类方程取个名字吗？

教师引导学生归纳得出：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元二次方程。

活动目的：让学生更深入地了解一元二次方程模型存在的实际背景及必要性。在解决问题的难点在于数量关系的建立。在出示题目后，教师引导学生通过分析找出题目中的已知量、未知量，通

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过确定等量关系突破学习难点。每一个方程出现后，学生通过化简并关注方程有几个未知数和最高次数，类比一元一次方程，形成一元二次方程的概念，提高了分析问题和解决问题的能力。

关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。

三、合作探索，明确概念

（一）明确一元二次方程概念本质 下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？

①-5x2=0 ②x2-x=x ③2x2-=1

④3x3-x=0 ⑤x2+xy-3=0 判断一个方程是一元二次方程的依据是什么？

活动目的：教师从正反两个方面强化对概念的理解，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，有利于学生明确一元二次方程定义中的三个条件：一是整式方程；二是含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2，且三个条件缺一不可。

（二）明确一元二次方程的符号表达

1.符号表达 前面我们学习了一元一次方程，你还记得它的符号表示吗？ 你能类比一元一次方程写出一元二次方程的符号表示吗？ 师生共同归纳得出：把ax2+bx+c=0（a≠0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 活动目的：教师通过一元一次方程的一般形式引导学生类比得出一元二次方程的一般形式、项和系数，有助于学生理解和掌握一元二次方程的符号表达。 2.例题讲解 教师引导学生将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一般式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

在将方程化为一般形式的过程中，你有什么体会要和同学们分享？ 教师板演过程，规范格式。 活动目的：学生的学习过程也是一个模仿和再创造的过程，教师将答题的详细步骤正确地示范给学生，这比口头说教要有效得多。学生在这个过程中，学会了把一个一元二次方程化为一般形式，还会正确地判断一元二次方程的项与系数。

3.巩固练习

将下列方程写成一般式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

①5x2-1=4x ②4x2=81 ③（x-1）（x-2）=2

活动目的：题①是一般的一元二次方程，题②的一次项系数为0，题③的常数项为0。后两题均为特殊的方程。教师这样设置，有利于学生及时巩固二次项系数、一次项系数和常数项，明晰一般式中a≠0，b、c为任意实数，让学生的理解更为深刻。

（三）明确方程的解

师：本课的前面教学环节，我们通过探寻实际问题中的等量关系列方程，得出了三个方程，且三个方程均为一元二次方程；继而我们学习了一元二次方程的定义和一般形式。关于一元二次方程，你还想学习哪些内容？ 什么是方程的解？什么是一元一次方程的解？请同学们类比说一说，什么是一元二次方程的解？

一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根。

教师引导学生归纳得出：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。 判断下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.

生：-4和3是方程的根，将这两个数字分别带入方程，方程左右两边均相等。

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活动目的：教师引导学生自主探索，多种途径寻求方程的解，在此基础上让学生进行归纳总结。

四、归纳总结，反思提升

引导学生从知识、方法、心得体会等方面对本课学习进行总结。

（一）将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化的思想方法。

（二）一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项，一元二次方程根的概念，归纳所学过的整式方程。

（三）一元二次方程的意义与一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的区别和联系，强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义。

活动目的：这样的小结，是对“学”的总结，“思”的深化，“法”的提升，可帮助学生有效地建构知识，提高总结和反思能力，进而促进学生的自主发展。

五、布置作业，分层落实 （一）必做题。教材习题

（二）选做题。求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程。

（三）思考题：如右图所示，在一块长22米、宽17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，草坪面积为300平方米。若设道路宽为x米，根据题意可列出方程为 .

活动目的：分层作业的设置，体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要。选做题为概念变式应用题，目的是拓展学生的思维；思考题的设置，则为下节课的学习埋下了伏笔。

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