复习题名师课堂实录

中考数学专题学习：第7讲

一次函数与反比例函数（3）

教

学

设

计

一、中考权威解读

一次函数、反比例函数相交的综合问题是初中数学知识中最基础、最核心的内容，是考查学生数学思想方法、基础知识和常用技能以及数学学习过程的重要知识点.在解决这类问题时常用到模型思想、方程思想、数形结合思想等.在最近几年的成都中考中，通常出现在第24题、第25题. 二、知识要点梳理

1. 图形的对称性

（1）正比例函数：

正比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点. （2）反比例函数：

①反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点； ②反比例函数的图象也是轴对称图形，有两条对称轴：直线yx. 2.

反比例函数与一次函数的交点

（1）求反比例函数与一次函数图象的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． k（2）判断正比例函数yk1x和反比例函数y2的图象在同一直角坐标系中的交点个数x可总结为：

①当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中有2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中有0个交点.

三、方法全面归纳

1.双数图形.

曲线交点三角形与双曲线梯形

（1）双曲线交点三角形：如图,一次函象与反比例函数图象的同一支相交于A、B两点时，AOB就叫做交点三角

（2）双曲线梯形：如图,一次函数图象与反比例函数图象的同一支相交于A、B两点时，过A、B两点作同一坐标轴的垂线段AE和BF，四边形AEFB就叫双曲线梯形.

（3）二者的关系：面积相等.

2.直线与双曲线相交图形中的相等线段

（1）直线与双曲线交于同一支时

k如图双曲线y(k0)与直线xyaxb(a0)相较于C、D两点，直线与y轴、x轴分别交于A、B两点，则有：ACBD.

证法:如图，过点C作CM⊥y轴，CG⊥x轴.过点D作DH⊥y轴交CG于E点，DN⊥x轴，连接CH、DG、HG，则S矩形CMOGS矩形DNOH,S矩形CMHES矩形DNGE，进而SCHESDGE，SCHGSDGH，所以CD//HG，那么四边形ACGH与四边形DHGB均为平行四边形.所以AC=HG=DB. （2）直线与双曲线交于不同支时

k①如图，双曲线y(k0)与直线yax(a0)xA、B两点，由中心对称可知OAOB. 交于

k(k0)与直线yaxb(a0)交于A、D两点，直线与y轴和xx轴分别交于B、C两点，则有ABCD，证明方法同（1）.

特别说明：以上均取k、a小于0，k、a大于0时证明方法同理. ②如图，双曲线y

四、典例深度精析

【典例】如图，直线ym3xb与y轴交于点A，与双曲线y在第一象限的图象交x3于B、C两点，且ABAC=4，则m= .

一读：关键词：在第一象限交于B、C两点，ABAC=4.

3时，直线与x轴形成的锐角为30°.

3重要方法：设点、利用三角函数求AC、CD. 三解：

二联：重要结论：ABCD,一次函数中k解：过点C作CF⊥y轴，CE⊥x轴，设C点坐标为(a,3xb可知ODA30. 3m)

a 由y 则ACCF23aCE2m ,ABCD2CEsin603sin30a23a2m4 3a 由ABAC=4可得 得m3

五、金题核思点拨

1.如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B,与反比例函数ky(k0)在第一象限的图象交于点E、F.过点E作EM⊥y轴于点M，作EH⊥x轴x于点H，过点F作FN⊥x轴于点N，直线EM与FNBE1（m为大于1的常数），记CEF交于点C，若BFmS的面积为S1，OEF的面积为S2，则1 S2（用含m的代数式表示）. 【核思点拨】

找相等线段

同一象限

同一象限

找双曲线三角形和双曲线梯形

【答案】

BE1BE1AF，

∴ 解：.

BFmEFm1EFSCEFEF2(m1)2EC//OA，

∴

. 2SAFNAF1 ∴SCEF(m1)2SAFN.

SANFAF2BE21EH//FN

，∴.

222SAHEAEBFm

∴SANF12，∴S梯形EHNF(m21)SANF.

SANFS梯形EHNFm(m1)2SAFNm1S1S1 ∴

. 2S2S梯形EHNF(m1)SANFm12.如图，直线yx(k1)与双曲线yE、F两点，AB⊥x轴于B点.已知SAOBk(k0)交于A、C两点，与x轴、y轴分别交于xCE

.

2SAOE，则EF【核思点拨】

不同象限

【答案】

也可找相等线段

EO1.

BO2EO1. BO22

1 解:

由SAOB2SAOE可知

OF//AB

∴EFAFCEAFCE

，∴EF