*5 一元二次方程的根与系数的关系第二课时教案

《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计

夏县庙前镇初级中学

文

杰

【教学目标】: 1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．

2．会利用根与系数的关系求有关代数式的值．

【教学重点】:一元二次方程的根与系数的理解．

【教学难点】:一元二次方程根与系数的运用．

【教学过程】：

一、复习回顾

1. 写出一元二次方程的一般形式?

ax+bx+c=0 (a≠0)

并指出二次项系数、一次项的系数、常数项.

2. 如何用判别式

b－4ac

来判断一元二次方程根的情况？

3. 解一元二次方程的方法有哪些? 4. 写出一元二次方程

ax＋bx＋c＝0 (a≠0) 的求根公式. 二、新课导入

通过前面的学习我们发现,一元二次方程的根完全由它的系数确定,求根公式就是根与系数的关系的一种形式,除此之外,一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?下面我们通过解方程来探究. 222(1) x2＋3x－4＝0;

(2) x2－2x－5＝0;

(3) 6x2＋x－2＝0;

(4) 2x2－5x＋1＝0. 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系?两根之积呢? 对于任何一个一元二次方程,这种关系都成立吗?与同伴交流

三、探究新知（学生先自主探究，然后合作交流）

内容：计算填表

方程

x1

x2

x1 ＋

x2

x1·x2

x2＋3x－4＝0 x2－2x－5＝0 6x2＋x－2＝0 2x2－5x＋1＝0

问题：

1、思考：观察表中x1

+x2

与x1·

x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？你能发现什么规律？

2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？

3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）

四、感知例题

例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

（1）x2 + 7x + 6 = 0;

（2）2x2 - 3x - 2 = 0 例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

例3：若一元二次方程x2＋4x＋2＝0的两根是x1，x2，求下列各式的值: 11（1）

＋

；

（2）x12＋x22

x1x2五、随堂练习

1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是

，m =____. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和

1 ，则：p =

, q=

3.设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:

(1)

x1+x2=

,

(2)

x1·x2=

,

(3)

x12＋x22＝

,

(4)(x1－x2)2＝

4.已知方程3x2－18x＋m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 六、总结梳理

1．方程根与系数的关系：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根x1，x2，那么

bcx1＋x2＝－a，x1·x2＝a. 2．在用根与系数关系时，需先将方程根的判别式求出

3．在用根与系数关系时，常见的形式有：

（1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1·x2 （2）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1·x2

11x1＋x2（3）

＋

＝

x1x2x1·x2

七、达标检测

1．一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是(

) A．－1

B．－2

C．1

D．2 2．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是(

) A．－3，2

B．3，－2

C．2，－3

D．2，3 3．已知方程x2＋kx－6＝0的一个根为x1＝2，则另一个根x2＝________，k＝________．

24．已知关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2且x21＋x2＝7，则(x1－x2)2＝________．

5．已知关于x的一元二次方程mx2－2x＋n＝0的一个实数根－2，求m，n的值．