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总复习

《二元一次方程组》

教学设计

------市第五中学

【教材分析】

构建方程的数学模型，应用方程的思想解决数学问题，是初中数学的一种常用思想方法.

灵活运用有关知识解题，在中考试题中占有重要的位置. 是学生学数学用数学的能力体现. 【中考命题规律】

在中考试题中，常常出现的形式有：二元一次方程组的解法；待定系数法求解析式；方程与函数的关系；用方程中的整体思想求值；构建方程的数学模型解应用题；用方程的方法处理代数问题；几何题中的数形结合题，既要把它转化成几何的问题，也要构建方程来解决. 【课堂设计要求】

1、本课时是按“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展” 的模式呈现，这种方式符合学生的认知规律和学习规律，因此也是课堂教学设计的立足点，就是根据这一模式进行设计的. 2、本课内容形式多样，更好地激发了学生的学习兴趣，吸引了注意力. 提高了学生的参与度，促进学生的学习效果. 3、每个教学环节之间环环相扣，衔接自然，启发得当，使整堂课思路清晰流畅.每一个知识点后都附有相应变式训练，使所学知识及时得到落实.

【教学目标】

知识与技能目标： 1、了解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 2、了解方程与函数的关系.会解二元一次方程组，掌握方程组中换元法的解题技巧. 3、体会方程的模型思想，培养学生灵活运用方程知识解决数学问题的能力. 过程与分析目标：

1、了解解二元一次方程组的“消元”思想，从而理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想．

2、经历探索二元一次方程组的解法过程，体会方程的模型思想，理解方程思想对解题的作用，培养良好的数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．

情感与态度目标：

1、学会用类比的方法迁移知识，激发学生解决问题的愿望. 2、体验二元一次方程组在处理数学问题中的优越性，感受数学的乐趣．

【教学重点】会求二元一次方程组的解，体会方程的模型思想，能用二元一次方程组解决实际问题．

【教学难点】理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想．

【教学方法】探究法，类比法

【教学手段】采用多媒体辅助教学，充分调动学生学习的积极性、主动性和参与性，促进学生自主学习.

1

【教学过程】：

一、创设情境

设

“

”“

”表示二种不同的物体，现用天平称了二次，如下图所示，那么这二种物体的质量分别为_______________________________.

70g 50g

请同学们猜猜．图中体现一种什么关系？怎样求二种物体的质量？

教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考．

学生活动：观察问题，思考上述问题的解答．

设计理念：

用相关学科的知识引入课题，可以增添学习数学的趣味性.

二、课前热身

1、下列方程中，属于二元一次方程的是

.（填序号）

①

x+y=5

②

xy = 2

③

2x―y = 4

④

x+2y = z

⑤

2x-y = 2x+y―1

⑥

让学生回答：①

③

2、二元一次方程x+y=5的解是：x5yx1yx1y3

x2y

x3y

x4y

……，它的解共有

个，它们是不是方程2x―y = 4的解？怎样判断？方程x+y=5与2x―y = 4的公共解是

.

让学生回答：

（用集合观点展现二元一次方程的公共解：

即方程组的解）

x+y= 5

2x―y= 4

x3y2

设计理念：本题组既是对二元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好铺垫，在引导学生利用二元一次方程进行知识的迁移与类比，更好揭示概念之间的关系.

三、考点链接

1、二元一次方程的特点：①化简后含有

未知数，②含未知数的项的次数是

次，③系数不等于零的

方程. 2、含有相同的未知数的两个二元一次方程，叫做

. 3、

叫做二元一次方程的解.

2

4、

叫做二元一次方程组的解.

5、二元一次方程组的解法有两种：

.

设计理念： 用填空的形式，使学生更深刻地理解二元一次方程（组）以及它们的解的概念．

四、典例精析

例1、解方程组2xy6x2y2

点评：代入法和加减法的选择. 变式1：

2xy3（1）、方程组x2y6，则x+y=

.（答案：3）

2x5y1,3x5y42、方程组3x4y5,3x7y6中，x的系数的特点是

________，方程组中y的系数特点是

__________，这两个方程组用______法解较简便. （答案：相同，相反数，加减法）

设计理念：

1、区分代入法和加减法的选择，了解一些解题技巧；

2、了解解二元一次方程组的“消元”

思想，从而理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想．

例2、方程组3a2b11,4a3b9的解为a3,b1.则由3(xy)2(xy)11,4(xy)3(xy)9分别把（x+y）和（

x-y）看着两个整体，用换元法可以得出x+y =_____, x-y =_____,从而求得变式2：

方程组a1xb1yc1a2xb2yc2x____,y____.

（答案：3，-1，x1y2）

的解为x3y4，求方程组3a1x2b1y5c13a2x2b2y5c2的解

甲同学说：“条件不足”，乙同学说：“有规律”，丙同学说：“能不能方程两边都除以5，通过换元法来解决”

.你认为它的解是

. （答案：

x5y10）

设计理念：

学会用类比的方法迁移知识；学会用换元法解二元一次方程组.感受数学的乐趣. 例3：如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，•则根据图像可得，关

3

于yaxb,ykx的二元一次方程组的解是（ ）

x4B.y2x4D.y2A．x4y2

x4C.y2

（答案：C

）

变式3：

二元一次方程组yx1y2x3的解是_______；那么一次函数y=x—1和x4y5y=2x+3的图象的交点坐标是 ；（答案：

）

设计理念：

体会数形结合思想，了解方程与函数的关系.

例4、如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，E是

CD上一点，连接并延长BE，交AD的延长线于F，

若△BEC的面积比△DEF的面积大5cm2，求DF的长. 分析：本题是数形结合题，既要把它转化成几何的问题，也要构建方程来解决. 解：设△BEC的面积为xcm2，△DEF的面积为ycm2，梯形ABED的面积为z cm2. xy5xz68①②

②－①得

y + z = 43，即△ABF的面积为43cm2. 设DF的长为acm，则有答：DF的长为194128(6a)43，解得a194

cm. 变式4：（学生演版）

用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，求每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

分析：这是一道几何计算题，可以构建方程模型来解决. 解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm

xy602x3yx

解得

x45cmy15cm

答：小长方形的长分别为45cm，宽为15cm.

设计理念：

构建方程的数学模型，用方程思想来解决实际问题，是初中数学的一种常用方法.

4

五、巩固提高

1、请你写出一个二元一次方程组，使它的解为x1y2

，这个方程组是

2、如右图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数

的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x、y，

那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）

A、xy90xy15 B、xy90x2y15 C、xy90x152y D、2x90x2y15

3、给出下列程序：输入x→

立方

→

×k

→ +b →

输出，已知当输入的x值为1时，输出值为1，当输入的x值为-1时，输出的值为-3，则当输入的值为0.5时，输出的值为 .（答案：0 ）

4、为了参观上海世博会，某公司安排甲、乙两车分别从相距300千米的上海、泰州两地同时出发相向而行，甲到泰州带客后立即返回，下图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）请直接写出甲离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当它们行驶4.5小时后离各自出发点的距离相等，求乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在(2)的条件下，甲、乙两车从各自出发地驶出后经过多少时间相遇？

解：（1）甲离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式为

y甲100x(0x3)2754080x(3x)4 ·

（2）由题意知，图中AB与OC的交点P的橫坐标为4.5，

代入AB的解析式求得P点的纵坐标为80． 得OC解析式为y=40x，当y=300时，x152．

即乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式为y乙40x(0x152)． x≤3100x时，40x300（3）由题意可知有两次相遇．①当0≤，解得x157；

5

②当3x≤274时，(54080x)40x300，解得x6．

综上所述，两车第一次相遇时间为出发后157小时，第二次相遇时间为出发后6小时

设计理念：

本题组先从二元一次方程组的解，写出二元一次方程组，再应用方程思想来解决实际问题，符合从简单到复杂的认知规律．使学生更深刻地理解二元一 次方程组的解的概念.探索规律，培养了学生学数学、用数学的能力.

六、归纳小结 （让学生回答）

1、二元一次方程（组）以及它的解的意义是：

. 2、二元一次方程组的解法有：

. 3、了解方程与函数的关系，通过学习加深对“数形结合”的理解.

4、能构建方程的数学模型，知道用方程思想来解决问题，是初中数学的一种常用方法. 设计理念：

发挥学生主体意识，培养学生归纳小结的能力，使知识点更清晰.

七、作业布置

x31、已知y58是方程mx2y2的一个解，那么m为（

）

（C）4

（D）

58

（A）

（B）3832、若(2x3y5)2xy20，则x＝ ，y＝ . 3、已知点A(3x－6，4y＋15)，点B （5y，x）关于x轴对称，则x＋y的值是________

. 4、小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，如图（1）所示，恰好可以拼成一个大的矩形。

小红看见了，说：“我来试一试，”结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形，咳！怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！你能帮他们解开其中的奥秘吗？（提示：能求出小长方形的长和宽吗？）

5、根据规律填空：方程组xy1xy1

xy1x2y4xy

xy1x3y9

（1）写出对应方程组的解分别为

xy

xy

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（2）类似地，第n个方程组为

，它的解为（答案：



x



y



1



x



n

）

2

xnynyn1xy1（3）若方程组xmy16xy

x10的解为y9，求m的值，并判断该方程组是2m否符合（2）中的规律.

（答案： 不符合 ）

3设计理念：

不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，实现不同的人在数学上获得不同的发展的教学理念．

八、板书设计

一、创设情景

二、课前热身

三、考点链接

四、典例精析

五、巩固提高

六、归纳小结

七、作业布置

《二元一次方程组》

例1、

变式1

例3

变式3

例2

变式 2

例4

变式 4

学生板演

九、教学反思：

本课的通篇整体设计，让学生经历从不同角度寻求不同的解决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学生的学习兴趣．让学生在类比中，主动迁移知识，建立起概念之间的联系．使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象.

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