*5 一元二次方程的根与系数的关系特级教师教学实录

基本信息

课题

作者及工作单位

一元二次方程根与系数的关系

赵 巍 巍

黑龙江省大庆市第三十六中学

教材分析

一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。

学情分析

1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。

2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，

3．在教学初始，学生自主回顾复习曾经学习过的知识点，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

教学目标

1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，并学习掌握韦达定理的五个作用。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

教学重点和难点

1、重点：一元二次方程根与系数的关系。

2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

教学过程

一、利用学案引入新课

1.一元二次方程的一般形式是什么？2.我们学习了一元二次方程的那些解法？

3.一元二次方程的求根公式是什么？4.一元二次方程的根的情况怎样确定？

222

2

_________

((xx)xx)5、

x

12

- _________ 1212x2(x1x2)二、完成下列表格：

方程

两个根

x1 2

x2x10两根之和

x2

x1 + x2

两根之积

a与b之间关系

a与c之间关系

x1x2



b

aa

c

x25x602

x23x10猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

的两个根分别是

x1

、

x2

，那么你可以发现什么结论？

6、能否利用求根公式证明你的猜想。

设计意图:此环节请一名学生带领全班同学进行复习，通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。

二、

得出定理并证明（韦达定理）

若一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则

2x1+x2=

-

bc

x1. x2=

aa2特殊的：若一元二次方程x+px+q=0的两根为x1、x2，则

x1+x2=-p

x1. x2=q 证明此处略（学生利用实物投影展示自己学案完成的证明过程，教师辅助合作完成）

设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。

三、

学习韦达定理的五个作用：

作用一：利用根与系数的关系求下列方程的两根之和两根之积：

（1）x 2 + 7 x + 6 = 0；(2)2 x 2 - 3 x - 2 = 0．

（小结：能用韦达定理的前提条件是





0

）

设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，设计加深学生对根与系数关系的本质理解。

作用二：验根

判定两个数是不是方程的两根

12x23x10

25x2023x

23x4x10

设计意图：让学生学习利用根与系数检验一元二次方程的根的正确性，能够帮助学生更快更准的验证自己所求解是否正确，能够更好的提高计算的准确率。

作用三：已知方程一根，求另一根

2已知方程

5

x



kx



6



0

的一个根是2，求方程的另一个根及K的值. 设计意图：利用韦达定理加快求解含有待定系数的一元二次方程已知一根求另一根的题型，让学生更加明确学习韦达定理的实用性，让学生对学习产生兴趣。

作用四：已知两根求待定系数

2

px如果方程

x



q



0

有两个根分别是3和1，求P=________,q=_______ 设计意图：逆用若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，则x1+x2=-p ，x1. x2=q求一元二次方程的待定系数，让学生充分感受韦达定理的巧妙之处。

作用五：可以求其它有关式子的值

x11x21，x2是方程2x24x-30的两个根，求的值。

设x1设计意图：利用韦达定理解决对称式的问题，更进一步的了解到韦达定理作用的广泛性。

四、尝试发展，巩固练习：

1、已知下列一元二次方程有实数根，口算两根之和与两根之积：

1（1）

x2 - 2x - 1=0

（2）

2x2 - 3x +

=0 222（3）2x - 6x =04、

（4）

3x

= 4

2、已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是

。

23、

设x1，x2为方程x4x10的两个根，则x1x2_______x1x2________22

2x2(xx)2___________(xx)______________x(xx)12121212

设计意图：通过巩固练习考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，让学生通过练习检验自己对本节课的学习内容的掌握程度。

五：拓展创新，课后思考作业

.111x1x2利用根与系数的关系，求另外几种常见的求值

2.

x1x2x2x13.(x11)(x21)4.x1x2说明：求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 设计意图：本节课内容量较大，这几个常见的对称式难度较大，需要学生回家先进行初步的自主研究，也希望通过预留的作业让学生能够对这个问题产生重视，希望今后能够更好的完成此类问题。

六：师生共同归纳小结

今天我学会了什么？

1、一元二次方程根与系数关系及其推论

2、利用此关系解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：

（1）二次项系数a≠0 （2）根的判别式b2-4ac≥0 设计意图：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，学生畅所欲言，在“以生为本”的民主氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能力。同时也更能帮助记忆。让学生自己把所学到的知识经常进行整理小结，使他们头脑中存储着一个层次分明的知识系统。

板书设计

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

ax+bx+c=0（a≠0）

2bb24ac2 x（b4ac0)

2ax1+x2=

-

cx1. x2=

ab

a学生学习活动评价设计

本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力

教学反思

1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力

3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。

4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。