1.1.2 平面上的伸缩变换课程导入及其完整教案

1.2平面直角坐标系中的伸缩变换

一、教材分析

本节知识选自人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书选修4-4“坐标系与参数方程”一

平面直角坐标系2、平面直角坐标系中的伸缩变换。平面几何图形的伸缩变换是常见的几何变换。将图形看成是点的运动轨迹，并在平面直角坐标系中用方程表示它，那么图形的伸缩变换就可以归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换，让学生从一个新的角度体会坐标法思想。

二、学情分析

学生在函数（特别是三角函数）的学习中，对函数图像的平移变换、伸缩变换有了一定的了解；在平面几何的学习中也接触过图形变换。但两者之间的联系并没有建立起来，特别是他们还不知道用代数方法表示图形伸缩变换的方法。本节课是在学生原有知识的基础上进行拓展，通过本节课的学习学生感受到应用坐标系解决几何问题带来的方便,并在三角函数图形变换的基础上理解坐标系的伸缩变换，对学生的知识进行了一定的拓展，并对数学的系统知识有了进一步的理解。

三、学习目标

1.通过实例概括坐标伸缩变换公式，了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化的情况。

2.让学生经历从具体到一般，从直观到抽象的思维过程，培养学生严谨的思维品质。引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换，进一步体会坐标变换的作用。

3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养学生的交流能力及自主探究的创新意识。。来

教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换。

教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题。

授课类型：新授课

教学措施与方法：启发、诱导发现教学。

四、教法

这节课我将采用启发、探究式教学模式，实现“以学生为主体、老师为主导”的新课改精神，逐步引导学生去探索、发现、总结规律。

五、学法建议

学生在学习函数（特别是三角函数）后，对函数图像的伸缩变换有了一定的理解。学生在已有认知基础上，可以用坐标伸缩变换研究平面图形的伸缩变换，使学生进一步理解了坐标法思想和代入法思想。

六、教学过程

（一）复习引入，阅读教材P4—P8 在三角函数图象的学习中，我们研究过下面一些问题：

（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x和y=sin（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sinx和y=1212x？

sinx？

【设计意图】

从学生熟悉的正弦曲线的伸缩变换入手，启发学生由关注的横向伸缩变换转换为关注图形上点的坐标的横向伸缩变换，并思考如何利用坐标变换来表示图形变换。

【师生活动】教师提出问题后，用几何画板在同一坐标系中作出两个函数的图像（教科书中途1-4），启发学生将图像的横向伸缩变换用语言表示出来。

思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？

【设计意图】教师利用几何画板功能，在两个图像上找出一对对应点，移动点的位置，引导学生观察、思考两个图像上的对应点之间的坐标关系。

作图：

y=sin1x 2



2

4

y

1 O



y=sin2x 2 234x

y=sinx y=2sinx y

y=sinx 2 1 1





O-1

-2 （二）新课讲解

引导, 观察启发

与y=sinx的图象作比较，结论：

y=12sinx？

22

x

1.函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1倍（纵坐标不变）。

2．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩121x,x' ①

2y'y.为原来的倍，得到P’（x’，y’）,那么我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。

设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的2倍，得到P’（x’，y’）,那么x'x, ②

y'2y.我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。

提出问题：怎样由正弦曲线得到曲线y=2sin2x？（它是由①②两种变换合成的）

平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），经过上述变换后变为点P’（x’，y’）,那么1x,x' ③

2y'2y.我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

【设计意图】体会从特殊到一般的归纳思想，给出平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义。

定义：设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:x'x,(0)y'y(0). ④的作用下，点P（x，y）对应到点P’（x’，y’），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。



0

注（1）





0

,

（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；

（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

（三）应用举例

例1、

在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

（1）2x+3y=0；

（2）x2+y2=1

x3x,例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线yyx9y229，求曲线C的方程并画出图象。

【设计意图】给学生思考与发现的机会，体会“获取信息—发现结论—证明结论”的数学思维过程。

（四）巩固练习

1、已知f1(x)sinx,f2(x)sinx（0)f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的为（ ）

131213倍（纵坐标不变）而得到的，则A． B .2 C.3 D.[来源: x5xy3y 2、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换22后，曲线C变为曲线2x8y1,则曲线C的方程为（

）

A．25x236y21 B.9x2100y21 C．10x224y21 D.225x289y21

1xx2后的图3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换1yy3形。

（1）5x2y0;

（2）x2y21。

七、课堂小结：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换[来源XK]

xx,(0),:的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角yy,(0),坐标系中的坐标伸缩变换

【设计意图】加深学生对坐标法思想的认识。】

八、作业布置

作业1、课本P8习题1.1第4、5、6题。

作业2、补充习题：

1xx4后得到 4x经过伸缩变换y1y3y21、抛物线y22、把圆xy16变成椭圆x222161的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线3x2y1变成直线2x'y'2的伸缩变换为 1xx4、把曲线y3sin2x的图象经过伸缩变换2得到的图象所对应的方程为 y4yx2x5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为1yy2x16y4x0，则曲线C的方程 22九、课后反思：

从代数角度研究“伸缩变换”比较抽象，学生一般不容易理解。因此，我以学生熟悉的正弦型曲线的图形伸缩变换为例，通过讨论由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sinwx和y=Asinwx的过程中曲线上点的坐标的变化规律，从具体到一般、从直观到抽象地引出伸缩变换的概念，并概括出“伸缩变换”的代数表示，给出伸缩变换的定义。建立伸缩变换与函数图像变换之间的联系，可以使伸缩变换概念的学习建立在学生已有经验基础上，使得平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的学习具有坚实的基础。