4.5分段函数课堂实录

《一次函数的应用》教学设计

年级

八年级

课题

4.5 一次函数的应用（第1课时）

1.训练识图能力

2.综合运用一次函数的图像解决实际问题

1.通过函数图像获取信息，培养数形结合意识

2.通过函数图像解决实际问题，发展学生数学应用能力

1.通过函数图像解决实际问题，感受到数学与生活的密切联系及对人类发展的作用

2.培养学习数学的兴趣，主动参与数学活动，进而更好地解决实际问题

执教者

熊浦环

知识与技能

过程与方法

教学目标

情感态度与价值观

教学重点

一次函数图象的应用

教学难点

利用一次函数的知识解决实际问题

教学用具

多媒体课件

教学环节

教学过程

“龟兔赛跑”故事

Q：下面哪个图形符合“龟兔赛跑”的故事情节？

2.兔子赛跑的函数图像

Q：这个函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样看的？从图像中你能获取到哪些信息？

【例1】某地为保护环境，鼓励节约用电，

实行阶梯电价制度.规定每户居民每月用电量不超过160kW·h，则按0.6元/（kW·h）收费；若超过160kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.1元. （1）写出某户居民某月应缴纳的电费y（元）与用电量x（kW·h）之间的函数表达式；

（2）画出这个函数的图象；

师生活动

请一学生述说“龟兔赛跑”故事，并选出符合的函数图像

观察兔子赛跑的函数图像，交流图像隐含的信息

设计意图

初步感知分段函数的图像，能从图像中获取信息

创设

情境，

激发

兴趣

学生交流，教师引导，明确用电量超过160 kW·h时收费由两部分组成,则y与x的函数关系式为

0.6x（0≤x≤160）

y=

0.7x-16（x＞160）

自变量在不同的取值范围内，对应有不同的函数表达式，这种函数称作分段函数

学生交流思考：y=0.6x（0≤x≤160）是正比例函数，只需取一

学生讨论交流，加深对函数关系的理解，自变量在不同范围内，函数关系不同

掌握画分段函数的合作

交流，

探究

新知

（3）小王家3月份，4月份分别用电150kW·h和200kW·h，应缴纳电费各多少元？

①针对问题（1）提出问题：

（1）题目中反映哪两个变量之间的关系？自变量分别在哪个范围？表达式有几个？

（2）如何理解超出部分每1kW·h加收0.1元？

②针对问题（2）思考：

如何画出函数图像？画y=0.6x

1

点；而y=0.7x-16（x＞哪些点？

160）是一次函数，要取

两点

分段函数图像由两个一次函数图学生画出图像，教像拼接而成，交点是两个函数的公共点

师多媒体展示

③对于问题（3），用电量是150kW·h当x=150时，应代和200kW·h分别在哪一范围内？

入y=0.6x;当x=200时，

应代入y=0.7x-16

学生完成解答过程

④若将问题（3）改成“小王家6月由于不知x是否超份的缴纳电费为194元，你能算出小王家过160kW·h，根据1606月份的用电量为多少吗？”

×0.6=96，所以判断6

月份用电量超过160kW·h，再代入y=0.7x-16，求出x,即6月份用电量

1.信禾公共汽车公司规定：旅客可免费携

带一定质量的行李，如果超过规定，则需

要购买行李车票，行李费用ｙ（元）与行建模思想：

李重量x（千克）的函数关系如图所示。

根据给定的信息建根据图象给出的信息求旅客最多可免费立函数模型，利用待定携带多少千克的行李？

系数法求出函数的表达式，再利用函数表达式解决实际问题

（0≤x≤160）和y=0.7x-16（x＞160）可取方法，正确描点，画出图像

解决

问题，

应用

新知

2.某市出租车计费方式如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（

）

A. 出租车起步价是10元

B．在3千米内只收起步价

C．超过3千米的部分每千米收3元

D．超过3千米时所需费用y与x之间的函数表达式是y＝2x＋4 3.某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象如图所示，那么从图象中可以看出，复印100面以内，每面收费

元，复印超过100面的部分，每面收费

元

体会函数图象与x轴交点的横坐标在实际问题中的意义

巧妙地把学生的思维引向运用数形结合的思想来解决问题，即用待定系数法求函数解析式，运用解析式结合函数图象来解决问题

2

深入

探究，

拓展

新知

调动学1.根据函数图像说故事

生的积极输了比赛的兔子没有气馁，总结反思性，进一步后，它像乌龟提出挑战。请根据图像说一

感受实际问说“新龟兔赛跑”的故事

题的函数图要点：起跑时存在路程差，交点表示相遇

象，培养学2.根据故事画函数图像

学生独立思考，绘生的想象能这一次，兔子先让乌龟先跑若干分制函数图像，老师巡视，力、口头表钟，然后再开始追赶，结果他们同时到达纠错订正，注意直角坐达能力

终点。你能将函数图像画出来吗？

标系中横纵坐标的代表

要点：起跑时存在时间差

意义

3.两次赛跑函数图像比较

【例2】甲、乙两地相距40km，小明8：

00点骑自行车由甲地去乙地，平均车速

为8km/h；小红10：00坐公共汽车也由教师引导学生完

甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小明成，分析：(1)中x表示使学生所用的时间为x（h），小明与甲地的距离小明所用的时间，根据正确写出函为y1（km），小红离甲地的距离为y2（km）. 图像可知小红比小明晚数关系式，（1）分别写出y1，y2与x之间的函数表出发2h，则所用时间为确定自变量达式. （x-2）h 的取值范（2）在同一个直角坐标系中，画出这两

围，并正确个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 确定自变量的取值画出图像，

范围，应先确定两人所用从图像中获①怎样确定自变量的取值范围？

的时间，因为甲乙两地相取一些必要

距40km，所以两人所用信息

的时间是固定的，强调x

指小明所用的时间

②两个函数图像都是什么样的？ 让学生自己尝试画

图像，小组交流、订正，

寻找解题思路，适当点

拨。自变量的取值范围决

定了图像的形状是线段

怎么确定谁先到达乙地？

当纵坐标相同时，横

坐标越小，即相同路程，

所用的时间最少，就最早

到达乙地

③两个函数的交点有什么样的实际意交点横坐标表示两明确交义？你能求出交点坐标吗？

人相遇的时间，纵坐标是点坐标的意两人各自走的路程，交点义，深化对“新龟兔赛跑”

3 小组讨论交流，编写故事，小组汇报，全班进行评价

坐标（2.5,20）

1.P133-P134练习

2. 甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．如图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程（y千米）随时间x（分）变化的图象（全程），

学生完成习题，有困难的交流

教师在这一过程中注意巡视指导，发现问题及时纠正，对于共性问题全班讲评

两个一次函数图像理解

强化训练，提高对分段函数的实际应用能力，增强学生学习的自信心

解决

问题，

应用

新知

根据图象回答下列问题：

（1）乙比甲晚多长时间到达李庄？

（2）甲因事耽误了多长时间？

（3）x为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米？

归纳

总结，

深化

新知

教师让学生归纳总本节课你有哪些收获？

结本节课学习内容，学生个别补充

培养学生第数学思想和方法的总结能力

（必做题）1.“清明节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象. (1)求他们出发半小时时，离家多少千米？

(2)求出AB段图象的函数表达式；

(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？

学生课后完成习题

习题练习，巩固所学知识，同时考虑到学生实际情况，分层教学

布置

作业，

巩固

新知

（必做题）2.为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行．已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，下图描述了两种方式需支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系，根据图象回答下列问题：

(1)求手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数表达式；

(2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同

4

的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算？

（选做题）3.在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村委会提出两种购买垃圾桶的方案．

方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用为250元；

方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用为500元．

设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．

(1)直接写出y1，y2与x之间的函数表达式(不用写自变量的取值范围)；

(2)在同一坐标系中画出函数y1，y2的图象；

(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？

板书：

4.5.1 利用一次函数解决实际问题

分类函数

方案选择

5