测试课堂实录及点评

中考一轮复习中《不等式》的复习方案与策略

蒗蕖中学 郑继芬

一：中考透视

本章内容在中考中所占比重较大,直接考查不等式的基本性质.一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示不等式(组)的解集;间接考查将不等式(组)应用于二次根式、绝对值的化简与求值讨论、一元二次方程根的情况及求函数自变量的取值范围.以填空、选择形式为主,计算题形式也不少,其中应用不等式知识进行方案设计及比赛分析题目难度较大,不易得分．

二：

本章知识重难点

【本章重点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质.会解简单的一元一次不等式,能在数轴上表示出不等式的解集,会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.能够根据具体问题中的不等关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的问题. 【本章难点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并用数轴确定解集.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题．

三：知识网络结构图

四：专题知识分类讲解及应用总结

一、知识性专题

专题1：

不等式的性质

【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式，然后复习理解不等式性质，再由题意得出符合条件的选项. 列题1：下列不等式变形正确的是（ ）

A．由ab，得acbc B．由ab，得－2a < －2b

C．由ab，得ab D．由ab，得a2b2

考点：不等式的性质．

分析：根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．

解答：解：A．由a＞b，得ac＞bc，当c＜0，不等号的方向改变．故此选项错误；

B．由a＞b，得－2a＜－2b，不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，故此选项正确；

C．由a＞b，得－a＞－b，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；故此选项错误；

D．由a＞b，得a－2＜b－2，不等式两边同时减去一个数，不等号方向不改变，故此选项错误．

故选B．

点评：此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

专题2：求一元一次不等式（组）的特殊值

【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组），然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值. 例2：解不等式组

解：解不等式①得：x<5 解不等式②得：x≥-1

∴不等式组的解集为-1≤x<5 追问1：x可取哪些整数？

X可取-1，0，1，2，3，4这6个整数。

追问2：x可取那些非负整数？

X可取0，1，2，3，4这5个非负整数。

追问3：x可取那些正整数？

X可取1，2，3，4这4个正整数。

专题3：

数形结合思想

【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题. 例题3：某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（

）

x2A．

x3x2B．C．

x3x2 B．

x3

x2D．

x3考点：在数轴上表示不等式的解集。

专题：探究型。

分析：先根据数轴上表示的不等式组的解集写出来，在对四个选项进行分析即可．

解答：解：由数轴上不等式解集的表示法可知，此不等式组的解集为—2≤x＜3，

A．不等式组的解集为—2≤x≤3，故本选项错误；

B．不等式组的解集为—2≤x＜3，故本选项正确；

C．不等式组的解集为—2＜x＜3，故本选项错误；

D．不等式组的解集为—2＜x≤3，故本选项错误．

故选B．

点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此题时要注意实心圆点与空心圆点的区别．

x+10例题4：不等式组的解集可表示为（ ）

x20A–102 B–102

C–102 D–102

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题：计算题。

分析：首先解出不等式组x的取值范围，然后根据x的取值范围，找出正确答案；

x+10解答：解：不等式组，

x20解得，﹣1≤x＜2．

故选B．

点评：本题考查了不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

专题4：

不等式（组）的实际应用

及分类讨论思想

（1）实际应用【专题解读】利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可. （2）分类讨论思想【专题解读】在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨. （3）在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系,列出不等式组→解不等式组→检验. 例题5：体育中考结束了，蒗蕖中学准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲

种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李. (1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案; (2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案. 分析

本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题.根据题中的不等关系可列出不等式组,解不等式组求出x的取值,从而解答本题. 解:(1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8－x)辆. 40x30(8x)290,根据题意得解得5≤x≤6. 10x20(8x)100,因为x为整数,所以x=5或x=6. 故有两种租车方案,方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆. 方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆. （2）方案一的费用：5×2000+3×1800=15400（元）. 方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元). 因为15400元<15600元,所以方案一最省钱. 答:第一种租车方案更节省费用,即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆. 【解题策略】解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆. 例6：.为了抓住“中国梦，宁蒗梦”庆祝宁蒗县成立60周年的文化艺术节的商机，某商店决定购进甲乙两种艺术纪念品，若购进甲种纪念品7件，乙种纪念品3件，需要880元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品9件，需要940元。

（1）求购进甲乙两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7960元，但不超过8088元，则该商店共有几种购货方案？

（3）若销售每件甲种纪念品可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润28元，则在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？

分析：（1）利用 7件甲的总费用+3件乙的总费用=880元

4件甲的总费用+9件乙总费用=940

所以设甲每件x元，乙每件y元

（2）利用 100件的总资金≥7960 100件的总资金≤8088

构建不等式组 总资金=单价╳数量 单价第（1）中已知，所以设甲方的数量为Z件，则乙为（100-Z）件

（3）要使100件获利最大，则乙种最多即可

解：（1）设购进甲、乙两种纪念品每件各需X元，y元，则

7x+3y=880 x=100 4x+9y=940 y=60 因此，购进甲、乙两种纪念品每件各需100元和60元。

（2）设该商店购进甲种纪念品Z件，购进乙种纪念口（100-Z）件，则：

100x+60(100-x)≥7960 100x+60(100-x)≤8088

解得：49≤x≤52.2

又∵x只能取正整数

∴x可取49，50，51，52 因此共有4种方案

如下：

方案①购甲种纪念品49件，乙种纪念品51件。

方案②购甲种纪念品50件，乙种纪念品50件。

方案③购甲种纪念品51件，乙种纪念品49件。

方案④购甲种纪念品51件，乙种纪念品48件。

（3）∵乙种纪念品利润较高

∴购进乙种纪念品数量越多，总利润越大。

∴选择方案①，可获利最大，最大利润为：

49x×20+51×28=2408(元) 五：复习总结：

（1）：本章知识概述：本章知识是在学习了一元一次方程(组)的基础上研究简单的不等关系的.教材首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集及解不等式的概念，然后具体研究了一元一次不等式的解、解集、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用等.通过具体实例渗透一元一次不等式与一元一次方程的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集、一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式组的简单应用等． （2）解题基本方法：（1）根据题意建立函数关系式；（2）根据实际意义建立关于自变量的不等式组，求函数自变量的取值范围；（3）根据函数自变量的取值范围，确定符合条件的设计方案；（4）利用函数的性质求最大值或最小值，确定最优化方案。

（3）解题的关键与策略：读懂题意，找到关键描述语和实际问题中的数量关系，突破思维、心理障碍，合理运用方程、不等式以及函数的相关性质等解决方案最优问题。

六：掌控中考专题训练

2019中考数学学业水平测试专题复习

第六部分 一元一次不等式（组）

1．下列不等式变形正确的是（ ）

A．由ab，得acbc B．由ab，得2a<2b

C．由ab，得ab D．由ab，得a2b2

【答案】B 2．若ab0，且b0，则a、b、a、b的大小关系为（ ）

A．abba B．abab

C．abba D．baba

【答案】C

3．不等式3x53x的解集是（ ）

A．x4 B．x4 C．x4 D．x4

【答案】C 4．不等式3x2x的解集是（ ）

2A．x2 B．x1 C．x0 D．x2

【答案】A

5．不等式2x13的解集在数轴上表示正确的是（ ）

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

0

【答案】C -2

-1

A 0

1

2

-2

-1

B 0

1

2

C D 6．不等式组2x4的解集为（ ）

x20A．x2 B．2x2 C．x2 D．2x2

【答案】D 7．不等式组x22x4的解集是（ ）

x3A．x3 B．x6 C．3x6 D．x6

【答案】D 2x118．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）

42x0

0

1

2 0

1

2 【答案】C

0

1

A 2 0

1

B 2 C D 9．某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（ ）

x2x2A． B．

x3x3x2x2C． D．

x3x3【答案】B -3

-2

-1

0

1

2

3

4

3x010．不等式组4x3x的最小整数解为（ ）

632A．0 B．1 C．2 D．1

【答案】A 53x011．若不等式组有实数解，则实数m的取值范围是（ ）

xm0A．m5555 B．m C．m D．m

3333【答案】A 12．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（ ）

A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人

【答案】C 13．不等式2x1的解集为 ．

【答案】x1

14．不等式组2x10的整数解是 ．

2x4【答案】0、1和2

x31015．不等式组2的解集是 ．

5x30【答案】5x8

16．若不等式xa只有4个正整数解，则a的取值范围是 ．

【答案】4a5

17．有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg．毎梱材料重20kg．电梯最kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材枓．

大负荷为1050【答案】42

18．我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错（或不答）

一题记5分．小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对 道题．

【答案】14

19．在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多900元．此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费15元，则参加这次活动的学生人数最多为 ．

【答案】40人

20．解不等式：4x15x6．

【答案】解：去括号得：4x45x6

移项得：4x5x46

合并同类项得：x2

不等式两边同除以1得：x2

∴不等式的解集为：x2．

21．解不等式

2x15x11，并把它的解集在数轴上表示出来．

320

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

【答案】解：22x135x16

11x11

x1

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

22．解不等式：2(x2)63x，并写出它的正整数解．

【答案】解：2x463x

2x3x64

5x10

x2

∴这个不等式的正整数解为1，2．

-5

-4

-3

-2

·-1

0

1

2

3

4

5

23．解不等式组：2x1x5．

4x3x2【答案】解：由第一个不等式得：x6

由第一个不等式得：得：x2

∴原不等式组的解集为6x2．

x1x24．解不等式组：2．

x3x15【答案】解：由第一个不等式得：x>2

由第二个不等式得：x3

∴原不等式组的解集为2

x3x2425．解不等式组：12x，并把它的解集在数轴上表示出来．

x13【答案】解：由第一个不等式得：x1

由第二个不等式得：x2

∴原不等式组的解集为2x1．

这个不等式组的解集在数轴上表示为：

-3

-2

-1

0

1

2

3x1x326．解不等式组：1x12x，并写出它的所有整数解．

123【答案】解：由第一个不等式得：x2

由第二个不等式得：x5

∴原不等式组的解集为5x2

∴它的所有整数解为：5、4、3．

3x4(2x1)227．解不等式组：，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解. 13x2x12【答案】解：由第一个不等式得：x5

4由第二个不等式得：x3

∴原不等式组的解集为：5x3．

4

这个不等式组的解集在数轴上表示为：

-2



54

0

1

2

3

4

∴此不等式组的整数解为：1，0，1，2．

28．商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量才为0.55度，现将A型冰箱打折出售，问商场至少打几折，消费者才合算购买（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？

【答案】解：设商场将A型冰箱打x折出售，消费者购买才合算．由题意得：

2190x3651010.42190110％365100.550.4

10解得：x8

答：商场将A型冰箱至少打8折．

29．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计．2012年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到20l4年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆．

（1）求2012年底至2014年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况．从2015年初起．该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2016年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2015年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定在这种情况下每年新增汽车数量相同．请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．

【答案】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得：

151x21.6

2解之得：x120%，x22.2（不合题意，舍去）

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．

（2）设该市每年新增汽车数量为y万辆，则：

2015年底该市汽车拥有量为21.690%y万辆

2016年底该市汽车拥有量为21.690%y90%y万辆

根据题意，得：21.690%y90%y23.196

解得：y3

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆．

30．某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到恩来敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．

（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）．

（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

【答案】解：（1）牛奶盒数：5x38盒．

（2）根题意得：5x386x15

5x386x11解这个不等式组得：39x43．

∵x为整数

∴x40，41，42，43

答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人．

31．某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．

（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；

（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？

【答案】解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为30x个．由题意，得：

80x3030x1900

50x6030x1620解这个不等式组，得：18x20．

∵x只能取整数

∴x的取值是18，19，20．

当x18时，30x12；当x19时，30x11；当x20时，30x10．

故有三种组建方案，分别为：

方案一：中型图书角18个，小型图书角12个；

方案二：中型图书角19个，小型图书角11个；

方案三：中型图书角20个，小型图书角10个．

（2）方案一的费用是：860185701222320（元）；

方案二的费用是：860195701122610（元）；

方案三的费用是：860205701022900（元）．

故方案一费用最低，最低费用是22320元．

32．随着私家车拥有量的增加，停车问题已经给人们的生活带来了很多不便．为了缓解停车矛盾，某小区开发商欲投资16万元，建造若干个停车位，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍．据测算，建造费用及年租金如下表：

类别

建造费用（元/个）

年租金（元/个）

室内车位

5 000 2 000 露天车位

1 000 800 （1）该开发商有哪几种符合题意的建造方案？写出解答过程．

（2）若按表中的价格将两种车位全部出租，哪种方案获得的年租金最多？并求出此种方案的年租金．（不考虑其他费用）

【答案】解：（1）设建造室内停车位为x个，则建造露天停车位为1600005000x个，有：

88000元．10001600005000x2x10001600005000x

10003x解得：20x1607．

∵x为整数

∴x20，21，22．

∴1600005000x100060，55，50．

∴

共有三种建造方案，分别为：

方案一：室内停车位20个，露天停车位60个；

方案二：室内停车位21个，露天停车位55个；

方案三：室内停车位22个，露天停车位50个．

2）设年租金为w元．根据题意，得：

w2000x8001600005000x1000

2000x128000

∵k20000

∴w随x的增大而减小．

∴当x20时，w最大20002012800088000．

答：当建造室内停车位20个，露天停车位60个时租金最多，最多年租金为（

33．为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为160元．

（1）篮球和排球的单价分别是多少元？

（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？

【答案】解：（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为2x元．有：

3x2x160

3解得：x96．

∴2x64

3∴篮球和排球的单价分别是96元、64元．

（2）设购买的篮球数量为n，则购买的排球数量为36n，有：

36n11

96n6436n3200解得：25n28．

∵n是整数

∴n26，27，28，对应36n10，9，8．

所以共有三种购买方案，分别为：

①

购买篮球26个，排球10个；

②

购买篮球27个，排球9个；

③

购买篮球28个，排球8个．

34．某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．

（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？

（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的种方案？哪种方案的总费用最低？

2，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几3【答案】解：（1）设A型课桌凳每套x元，则B型课桌凳每套x40元，有：

4x5x401820

解之得：x180

∴x40220

即购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元和220元．

（2）设购买A型课桌凳a套，则购买B型课桌凳200a套，有：

2200aa 

3180a220200a40880解之得：78a80

∵a只能为正整数，∴a78,79,80

所以共有3种方案．

设购买课桌凳总费用为y元，则y180a220200a40a44000

∵k400，y随a的增大而减小

∴当a80时，总费用最低，此时200a120

即总费用最低方案是购买A型80套，购买B型120套．

35．A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．

（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？

【答案】解：（1）从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，根据题意得：

y300x20042x15050x250x2

200x15400

即：y200x15400

∴y与x的函数关系式为：y200x15400．

x042x0又∵，解得：2x42，且x为整数

50x0x20∴自变量x的取值范围为：2x42，且x为整数．

（2）∵此次调运的总费用不超过16000元

∴200x1540016000

解得：x3

又∵2x42

∴2x3

∵x只能取整数

∴x2或3．

∴

共有两种调运方案，分别为：

方案一：从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆；

方案二：从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆．

∵y200x15400是一次函数，且k2000，y随x的增大而增大

∴当x2时，y最小，即方案一费用最小．

此时，y20021540015800．即：最小费用为15800元．

主要参考文献：

（1）云南省2011年至2019年中考数学试卷。

（2）万维中考教育网。

（3）百度文库相关文章。

（4）2017年《火线100天》。

（5）2019年中考复习资料《掌控中考》

（6）2019年中考复习资料《2点复习备考方案》