5.1 二次函数教学内容概述

5.2二次函数的图像和性质(1) 【勤学的起航】

1．会用列表描点法画二次函数yax2(a≠0)的图像；

2．能根据函数y＝ax2(a≠0)的图像，初步说出函数y＝ax2(a≠0)的性质．

【勤学的探索】

【课前准备】

1．(1) 正比例函数的一般式是_________________，它的图像_______________________；

(2) 一次函数的一般式是___________________，它的图像_______________________；

(3) 反比例函数的一般式是_________________，它的图像_______________________．

2．画函数图像的一般步骤：①___________；②___________；③___________ 3．二次函数的一般式是_________________ 【新知探索】

思考：二次函数的图像是什么，二次函数有哪些性质？

在平面直角坐标系中，画出下列函数的图像。

121⑴

yx

⑵y＝－x2

22

x …

…

…

…

…

…

y

y

10

2 4 x

－4 －2 O

8 －2

6 －4

4 －6

2 －8

－10 －4 －2 O

2 4 x

【归纳概括】

1．二次函数的图像都是

,二次函数图像是

图形，

与抛物线的交点叫做抛物线的

，抛物线的

可以向上也可以向下。

2．二次函数yaxa0的性质：

2

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

y=ax(a>0) 2 y= ax(a<0) 2

3.a决定：

【勤学的尝试】

１.函数y＝８x2的图像的开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是_________；

在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而__________；

２. 函数y＝－７x2的图像的开口_______，对称轴是_________，顶点坐标是_________；

当x＞0时，y随x的增大而_______；当x＝_____时，函数有最______值，此时y＝________．

3. (1) 已抛物线y＝ax2与y＝2x2形状相同，则

a＝___________．

(2) 抛物线y＝ax2与y＝2x2图像关于x轴对称，则a＝___________．

【典例剖析】

2例1.已知y＝(m＋1)xm＋m是二次函数，且它的图像开口向下．

(1) 求函数解析式．(2)

当x__________时，y随x的增大而减小．

11，）、B（3，m）．

28(1)求a与m的值；（2）写出该图像上点B的对称点的坐标；

（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）？

例2. 已知二次函数y=ax2的图像经过点A（

例3.利用函数yx2的图像回答下列问题：

（1）当x3时，y=

. 当y=－8时，x=

. 2（2）当－2

. （3）当－4

.

练习：已知函数y12x，当－4

. 2当2

. 【思维的拓展】

k已知yk2x2k4是关于x的二次函数，且当x> 0时，y随x的增大而增大，

⑴求k的值；⑵求二次函数图像的顶点坐标和对称轴；⑶求图像与直线y3x1的交点A、点B的坐标；⑷求△OAB的面积。

【勤学的反馈】

1．若二次函数y＝ax2（a≠0），图像过点P（2，－8），则函数表达式为

，

它的图像开口_______，对称轴为__________，当x＞0时，y随x的增大而_________．

22．已知抛物线y＝(m＋1)xm＋m开口向上，则m＝_____________．

3．函数y＝(k＋1)x2(k＋1≠0)的图像的顶点坐标是________，对称轴是________________．

当k_________时，图像的开口向上，这时函数有最_________值；

当k_________时，图像的开口向下，这时函数有最_________值．

14．点A（，b）是抛物线y＝x2上的一点，则b＝

；

2点A关于y轴的对称点B是

，它

此抛物线上（填“在”或“不在”）；

点A关于原点的对称点C是

，它

此抛物线上（填“在”或“不在”）．

5．已知点A（2，y1），B（4，y2）在二次函数y＝－3x2的图像上，则y1

y2．

6．根据二次函数y＝ax2的图像及其性质可知，若点（2，－3）在它的图像上，则点（_________）也一定在它的图像上．

7．已知二次函数y＝－2x2 ．(1) 当－2＜x＜3时，则y的取值范围为

；

(2) 当－8＜y＜－2时，则x的取值范围

．

118．对于抛物线y＝x2和y＝－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是

（

）

33A．两条抛物线关于x轴对称 C．两条抛物线关于y轴对称

B．两条抛物线关于原点对称

D．两条抛物线的交点为原点

9．已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y＝x2的图像上，则（

）

A．y1＜y2＜y3

B．y1＜y3＜y2

C．y3＜y2＜y1

D．y2＜y1＜y3 210．已知y＝(k＋2)xk＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．

(1)求k的值；

(2)求顶点坐标和对称轴；

(3)求y的最值．

11．一个函数的图像是以原点为顶点、y轴为对称轴的抛物线，且过点M(－2，2) (1)求这个函数的关系式；

(2)求抛物线上点M的对称点N的坐标，并求△MON的面积．

1２．已知抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x－3交于点（1，b）．

（1）求a与b的值；

（2）求抛物线y＝ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；

（3）x取何值时，二次函数y＝ax2的y随x增大而增大？

1３．如图，已知直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．

（1）求直线AB和抛物线y＝ax2的解析式；

（2）若抛物线上有一点D使得S△OAD＝S△OBC，求D点的坐标．