综合特级教师教学实录

三角形中的中点问题

授课人：成美琳

学科：初中数学

教学目标：熟悉三角形中的关于中点的定理和结论，能够善于联想选择合适的方法解决三角形的中点问题中。帮助学生学会寻找条件联想有效的方法，正确构建辅助线。

教学重点：不同中点问题的建立和辅助线的的联想构建。

教学难点：倍长中线法构造全等三角形以及含有中点问题的解题方法的联想。

教学过程：

一、热身练习，说一说

1.如图1，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E是AB的中点，且AE+EO=4，则平行四边形的周长为________。

ADAFECEBOCDB

（1）

（2）

2.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD，若EF=2，则AB=____________

3.如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长度为_____________

AAEANBDC

（3）

（4）

（5）

4.如图4，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD=_______°

5.如图5，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，则AD的取值范围为_________

[预设：

精选三角形中的一些问题，难度系数较低，可以在课前让学生做一遍，批改后上课引导学生自主讲解，氛围渲染，迅速切入主题，最后一题对于学生来说有一定的难度，此时可提示“利用辅助线设法将分散的条件集中在一起”]

结合平时练习，归类总结主要有哪些典型中点问题【中位线、直角三角形斜边中线、三线合一、垂直平分线，倍长中线等】

BMCBDC

二、巩固结论--总结方法

①

遇到三角形两边中点，联想“三角形的中位线定理”

【当三角形有多个中点时，联想三角形中位线，构造辅助线，使用中位线的性质】

②

直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”

【当具备直角+斜边中点时，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，构造辅助线】

③

等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质

④

出现三角形一边垂线过这边中点时，考虑用垂直平分线的性质

结论：垂直平分线上的点到线段两端距离相等

⑤

遇到三角形一边上的中点，考虑倍长中线构造全等三角形

【当遇到一个普通三角形的一条中线时，前3种中点图形都用不上时，考虑延长中线一倍-----延长中线等中线，构造全等三角形】

[预设：提前候课，在黑板上画出五种三角形中点的简单图形，简述定理结论，同学生一起总结使用这些条件的前提]

三、善联想，巧转化

例1、如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为____________

例2、如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点。若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0,4），（0，-5），其中a＜0，则a的值为何（）

A.214

B.25

C.8

D.7

例3、在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，求证：AF=EF AFEBDC

例4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D在BC上，延长BC至点E，使，F是AD的中点，连接EF，则EF的长是

拓展提高、正△ABC的边长为4，○A的半径为2，D是○A上动点，E为CD中点，则BE的最大值____________

AADD'DEFBC

CB

变式：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点，且AD=23，将线段AD绕点A旋转，得线段AD’，点F始终为BD’的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转______°时，线段CF的长最大，最大值为______.

[预设：4道题目，由浅入深，指引学生从前面所讲的与中点有关的结论中寻找线索，受到启发，将复杂问题转化成条件较多的简单问题，主要暗示学生会运用三角形五个中点知识] 四、小结：

1.运用三角形中位线，直角三角形斜边中线，等腰三角形底边中线三线合一，垂直平分线，倍长中线法等与中点有关的策略解决问题。

2.会学比学会更重要，方法比知识更重要，遇到三角形的中点问题，要有联想意识，联想熟悉的图形和做法。

五、走进中考，随堂检测

1.如图（1）,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别边AB上两点，且CE所在的直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=23，则AB=______ AED

CFB

（1）

（2）

2.

如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=2，则线段EF长为________。

3.

如图(3)，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC，过点D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC 求证：AE平分∠BAC AFBDEC

(3) 3.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC ,点D为BC的中点，

如图1，若点E、F分别是AB，AC的上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF 如图2，若点E、F分别是AB，CA延长线的上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？

请利用图2说明理由。

AFEBDC

(1)

ABDC

(2)