1. 共点力作用下物体的平衡教学设计第二课时

高中物理必修2期末总复习

典型例题：

1、过河问题

例1．小船在200m的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求：

1．小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？

2．小船怎样过河位移最小，最小位移为多少？

解：

如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：

v2 v1 t①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v⊥决定，即dv，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用t时间最短，最短时间为dv2也与v1无关。

②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1＜v2时，最短路程为d ；

2、连带运动问题

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

例2 如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2 解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1 3、平抛运动

例3平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v0、g、vc v1 甲

v2 v1 α

乙

解析：水平方向：v0a2asgT2,g2T

竖直方向：T

A B C D 先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC：

vxv02a5aa,vy,vcT2T2T41

（2）临界问题

典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？

E 例4 已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v的取值范围。

解析：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin扣球时，球刚好不触网，从图

中数量关系可得：

vmaxLs/2hg(Ls)g2h；

v vmins/2(hH)gsg2(hH)

h s

H

L

实际扣球速度应在这两个值之间。

4、圆周运动

例5如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

解析：va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶

vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4 点评：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

例6 小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R。）

解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有：

d c b a mv2mgtanmRsin2Rsin

，

Rcosh2gg，

vgRtansin,T2由此可得：N θ

F （式中h为小球轨道平面到球心的高度）。

可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。

点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

例7：长l0.5m，质量可忽略不计的杆，其下端固定于O点，上端连接着质量m2kg的小球A，A绕O点做圆周运动，如图所示，在A点通过最高点时，求在下面两种情况下，杆的受力：

⑴

A的速率为1m/s; ⑵

A的速率为4m/s；

解析：对A点进行受力分析，假设小球受到向上的支持力，如图所示，则有

F

N mg O 图11

v2FmgmF向mgFN则Nl分别带入数字则有

⑴FN =16N ⑵FN = -44N负号表示小球受力方向与原假设方向相反

例8 质量为M的小球在竖直面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨道的临界速度是V，当小球以3V速度经过最高点时，球对轨道的压力大小是多少？

解析：对A点进行受力分析，小球受到向下的压力重力，其合力为向心力，有

F向mgFN

v2FNmmgl则

解得FN = 8mg 例9 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）

解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．

对于B，T=mg 2TfMr1对于A，

2TfMr2

16.5rad/s

22.9rad/s 所以

2.9 rad/s 6.5rad/s 5万有引力及天体运动：

例10

地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，可以用下式估计地球的平均密度是

（

）

3gg3gg22A．4RG

B．4RG

C．RG

D．RG

解析

在地球表面的物体所受的重力为mg，在不考虑地球自转的影响时即等于它受到的地球的引力，G即：MmR2mg

①

密度公式

M4VR3V

②

地球体积

3

③

由①②③式解得

3g4RG，选项A正确。

点评

本题用到了“平均密度”这个概念，它表示把一个多种物质混合而成的物体看成是由“同种物质”组成的，用MV求其“密度”。

例11

“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37×103km，地面处的重力加速度g=10m/s2。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）。

解析

因万有引力充当飞船做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：

GMm(Rh)2m42T2(Rh)①

又GMm'R2m'g②

T由①②得：2(Rh)RhRg

代入数据解得：T=5421s 例12

地球同步卫星离地心距离为r，环绕速度大小为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系式正确的是

（

）

a1raR A．2v1rvR C．2

a1raRB．2()2

v1vD．

2Rr

解析

在赤道上的物体的向心加速度a2≠g，因为物体不仅受到万有引力，而且受到地面对物体的支持力；随地球一起自转的物体不是地球卫星，它和地球同步卫星有相同的角速度；速度v1和v2均为卫星速度，应按卫星速度公式寻找关系。

设地球质量为M，同步卫星质量为m，地球自转的角速度为ω，则

22araR

12对同步卫星

赤道上的物体2a1rv1GMmm2aRr

所以2

对同步卫星rv1GMGMv1v2vr

第一宇宙速度R所以2所以故答案为AD。

Rr

1g2随火箭向上a例13

某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度加速度上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R=6.4×103km，g取10m/s2）

解析

设此时火箭上升到离地球表面的高度为h，火箭上物体受到的支持力为FN，物体受到的重力为Fmg'ma

mg’，据牛顿第二定律N

①

mg'G在h高处Mm(Rh)2

②

在地球表面处mgGMmR2

③

FN②③代入①mgR2(hR)2ma

hR∴(mg11.92104(km)FNma)

6功和功率

例14. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度

? (设铁锤每次做功相等)

练习.如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是（

）

A．W1＞W2

B．W1＝W2

C．

W3＝

0

D．

W3＝W1＋W2

例15.质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？

练习.下列关于汽车运动的论述，不正确的是(

) A.汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度、加速度均逐渐增大

B.汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度逐渐增大；加速度逐渐减小，加速度为0时，速度最大

C.汽车匀速行驶时最大允许速度受发动机额定功率限制，要提高最大允许速度，必须增大发动机的额定功率

7功能关系

例题16如图1所示，轻绳下悬挂一小球，在小球沿水平面作半径为R的匀速圆周运动转过半圈的过程中，下列关于绳对小球做功情况的叙述中正确的是（

）

A.

绳对小球没有力的作用，所以绳对小球没做功；

B.

绳对小球有拉力作用,但小球没发生位移，所以绳对小球没做功；

C.

绳对小球有沿绳方向的拉力，小球在转过半圈的过程中的位移为水平方向的2R，所以绳对小球做了功；

图1 D.

以上说法均不对. 例题17把两个大小相同的实心铝球和实心铁球放在同一水平面上，它们的重力势能分别为E1和E2．若把它们移至另一个较低的水平面上时，它们的重力势能减少量分别为E1和E2则必有（ ）

Ａ.E1＜E2 Ｂ.E1＞E2

Ｃ.E1＜E2 Ｄ.E1＞E2

【分析与解】如果重力势能的零势面比两球所处的水平面较低，则显然由于铁的密度较大，同体积的铁球质量较大而使E1＜E2；但如就取两球心所在的水平面为重力势能零势面，则又有E1＝E2＝0；当然若两球所在的水平面在重力势能的零势面下方，甚至可以有E2＜E1＜0.考虑到重力势能的“相对性”，选项Ａ、Ｂ均不应选.但无论重力势能的零势面如何选取，在两球下降相同高度的过程中，质量较大的铁球所减少的重力势能都是较多的，所以此例应选择Ｃ.

例题18如图2所示，质量分别为m、2m的小球A、B分别固定在长为L的轻杆两端，轻杆可绕过中点的水平轴在竖直平面内无摩擦转动，当杆处于水平时静止释放，直至杆转到竖直位置的过程中，杆对小球A所做的功为 .OAB杆对小球B所做的功为 ．

【分析与解】在此过程中由于A、B构成的系统的机械能守恒，因此系统减少的重力势能应与系统增加的动能相等．即

mgLL11(2m)mv2(2m)v2

2222图2 由此解得A、B两球转到杆处于竖直位置时的速度大小为

v1gL

3而在此过程中A、B两球的机械能的增加量分别为

E1mgL122mvmgL

223L122mv2mgL

223E22mg所以，此过程中轻杆对Ａ、Ｂ两小球所做的功分别为

W1E12mgL

32W2E2mgL

3

例题19一个竖直放置的光滑圆环，半径为R，c、e、b、d分别是其水平直径和竖直直径的端点．圆环与一个光滑斜轨相接，如图3所示．一个小球从与d点高度相等的a点从斜轨上无初速下滑．试求：

(1)过b点时，对轨道的压力Nb多大？

(2)小球能否过d点，如能，在d点对轨道压力Nd多大？如不能，小球于何处离开圆环？

【分析与解】小球在运动的全过程中，始终只受重力G和轨道的弹力N．其中，G是恒力，而N是大小和方向都可以变化的变力．但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动，每时每刻图3

所受弹力方向都与即时速度方向垂直．因此，小球在运动的全过程中弹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．

从小球到达圆环最低点b开始，小球就做竖直平面圆周运动．小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心O点，此向心力由小球的重力与弹力提供．（1）因为小球从a到b机械能守恒EaEb，所以 mgha12mvb ①

2ha2R ②

2vbNbGm ③

R解①②③得 Nb5mg

2vd（2）小球如能沿圆环内壁滑动到d点，表明小球在d点仍在做圆周运动，则NdGm，可见，RG是恒量，随着vd的减小Nd减小；当Nd已经减小到零（表示小球刚能到达d）点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态）时，小球的速度是能过d点的最小速度．如小球速度低于这个速度就不可能沿圆环到达d点．这就表明小球如能到达d点，其机械能至少应是Edmgha球在a点出发的机械能仅有Eamghamghd＜Ed因此小球不可能到达d点．

12mvd，但是小21ha，EaEd

212即mghamghcmvc

2又由于hc因此，vc＞0，小球从b到c点时仍有沿切线向上的速度，所以小球一定是在c、d之间的某点s离开圆环的．设半径Os与竖直方向夹角，则由图可见，小球高度

hs(1cos)R ④

根据机械能守恒定律，小球到达s点的速度vs应符合：

mghamghs12mvs ⑤

2小球从s点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由重力G沿半径方向的分力提供向心力，即

vs2mgcosm ⑥

R5R故小球经过圆环最低点b时，对环35R的压力为5mg．小球到达高度为的s点开始脱离圆环，做3解④⑤⑥得 hs斜上抛运动．【说明】

hs

图4

1．小球过竖直圆环最高点d的最小速度称为“临界速度”v0．v0的大小可以由重力全部提供向心力求得，即小球到达d点，当vd＞v0时，小球能过d点，且对环有压力；当vd=v0时，小球刚能过d点，且对环无压力；当vd＜v0时，小球到不了d点就会离开圆环．

2．小球从s点开始做斜上抛运动，其最大高度低于d点，这可证明．