5　不确定性关系公开课教案

第4、5节

概率波__不确定性关系

教学目标：

1.了解德布罗意波和概率波，知道它们都遵循统计规律. 2.会用不确定性关系的公式分析简单问题．

重点：了解德布罗意波和概率波

难点：会用不确定性关系的公式分析简单问题．

进行新课：

概率波

1．经典粒子的特征

(1)经典物理学中，粒子有一定的空间大小，具有一定的质量，有的还具有电荷。

(2)经典粒子运动的基本特征：遵从牛顿运动定律，只要已知它们的受力情况及初位置、初速度，从理论上讲就可以准确、惟一地确定以后任一时刻的位置和速度，以及空间中确定的轨迹。

2．经典波的特征

经典的波在空间是弥散开来的，其特征是具有频率和波长，即具有时间、空间的周期性。

在经典物理中，波和粒子是两种完全不同的研究对象，具有非常不同的表现，是不相容的两个物理属性。

3．光波是一种概率波

光的波动性不是光子之间相互作用引起的，而是光子自身固有的性质，光子在空间出现的概率可以通过波动的规律确定，所以，光波是一种概率波。

4．物质波也是概率波

对于电子和其他微观粒子，单个粒子的位置是不确定的，但在某点附近出现的概率的大小可以由波动规律确定。对于大量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结果，所以物质波也是概率波。

[释疑难·对点练] 1．正确理解光的波动性

光的干涉现象不是光子之间的相互作用使它表现出波动性的，在双缝干涉实验中，使光源S非常弱，以致前一个光子到达屏后才发射第二个光子。这样就排除了光子之间的相互作用的可能性。实验结果表明，尽管单个光子的落点不可预知，但长时间曝光之后仍然得到了干涉条纹分布。可见，光的波动性不是光子之间的相互作用引起的。

2．光波是一种概率波

在双缝干涉实验中，光子通过双缝后，对某一个光子而言，不能肯定它落在哪一点，但屏上各处明暗条纹的不同亮度，说明光子落在各处的可能性即概率是不相同的。光子落在明条纹处的概率大，落在暗条纹处的概率小。

这就是说光子在空间出现的概率可以通过波动的规律来确定，因此说光是一种概率波。

3．物质波也是概率波

对于电子、实物粒子等其他微观粒子，同样具有波粒二象性，所以与它们相联系的物质波也是概率波。

也就是说，单个粒子的位置是不确定的，具有偶然性；大量粒子的运动具有必然性，遵循统计规律。概率波将波动性和粒子性统一在一起。

[试身手] 1．(多选)有关经典物理中的粒子，下列说法正确的是(

) A．有一定的大小，但没有一定的质量

B．有一定的质量，但没有一定的大小

C．既有一定的大小，又有一定的质量

D．有的粒子还有一定量的电荷

解析：选CD 根据经典力学关于粒子的理论可知，C、D正确。

1

2．(多选)为了验证光的波粒二象性，在双缝干涉实验中将光屏换成照相底片，并设法减弱光的强度，下列说法正确的是(

) A．使光子一个一个地通过双缝干涉实验装置的狭缝，如果时间足够长，底片上将出现双缝干涉图样

B．使光子一个一个地通过双缝干涉实验装置的狭缝，如果时间很短，底片上将出现不太清晰的双缝干涉图样

C．大量光子的运动显示光的波动性

D．光只有波动性没有粒子性

解析：选AC 单个光子的运动具有不确定性，但其落点的概率分布还是遵循一定的统计规律的，根据统计规律可以显示出光的波动性的一面。选项A、C正确。

不确定性关系

1．不确定性关系定义

在经典物理学中，一个质点的位置和动量是可以同时测定的，在量子力学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定性关系。

2．表达式

ΔxΔp≥。其中用Δx表示粒子位置的不确定量，用Δp表示在x方向上动量4π的不确定量，h是普朗克常量。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)

1．大量光子产生的效果往往显示出粒子性，个别光子产生的效果往往显示出波动性。(×)

2．经典物理学中一个质点的位置和动量是可以同时测定的。(√)

3．微观物理学中微观粒子的位置和动量是可以同时测定的。(×)

[释疑难·对点练] 1．粒子位置的不确定性

单缝衍射现象中，入射的粒子有确定的动量，但它们可以处于挡板左侧的任何位置，也就是说，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的。

2．粒子动量的不确定性

微观粒子具有波动性，会发生衍射。大部分粒子到达狭缝之前沿水平方向运动，而在经过狭缝之后，有些粒子跑到投影位置以外。这些粒子具有与其原来运动方向垂直的动量。由于哪个粒子到达屏上的哪个位置是完全随机的，所以粒子在垂直方向上的动量也具有不确定性，不确定量的大小可以由中央亮条纹的宽度来衡量。

3．位置和动量的不确定性关系ΔxΔp≥

4π由ΔxΔp≥可以知道，在微观领域，要准确地测定粒子的位置，动量的不确定4π性就更大；反之，要准确确定粒子的动量，那么位置的不确定性就更大。若将狭缝变成宽缝，粒子的动量能被精确测定(可认为此时不发生衍射)，但粒子通过缝的位置的不确定性却增大了；反之取狭缝Δx→0，粒子的位置测定精确了，但衍射范围会随Δx的减小而增大，这时动量的测定就更加不准确了。

4．微观粒子的运动没有特定的轨道

由不确定关系ΔxΔp≥可知，微观粒子的位置和动量是不能同时被确定的，这4π也就决定了不能用“轨迹”的观点来描述粒子的运动，因为“轨迹”对应的粒子某时刻应该有确定的位置和动量，但这是不符合实验规律的。微观粒子的运动状态，不能像宏观物体的运动那样通过确定的轨迹来描述，而是只能通过概率波进行统计性的描述。

[试身手]

2 hhhh

3．(多选)根据不确定性关系ΔxΔp≥，判断下列说法正确的是(

) 4πA．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度下降

B．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度上升

C．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关

D．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关

解析：选AD 不确定关系表明，无论采用什么方法试图确定坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定关系所给出的限度。故A、D正确。

[典例1](多选)物理学家做了一个有趣的实验：在双缝干涉实验中，在光屏处放上照相底片，若减弱光的强度，使光子只能一个一个地通过狭缝，实验结果表明，如果曝光时间不太长，底片上只出现一些不规则的点子；如果曝光时间足够长，底片上就出现了规则的干涉条纹，对这个实验结果有下列认识，其中正确的是(

) A．曝光时间不长时，光子的能量太小，底片上的条纹看不清楚，故出现不规则的点子

B．单个光子的运动没有确定的轨道

C．干涉条纹中明亮的部分是光子到达概率大的地方

D．只有大量光子的行为才能表现出波动性

[思路点拨] 光是概率波，单个光子的运动具有偶然性，大量光子的运动具有必然性。

[解析]选BCD 光波是概率波，单个光子没有确定的轨道，其到达某点的概率是不可确定的，大量光子的行为符合统计规律，受波动规律支配，才表现出波动性，出现干涉中的亮纹或暗纹，故A错误，B、D正确；干涉条纹中的亮纹处是光子到达概率大的地方，暗纹处是光子到达概率小的地方，但也有光子到达，故C正确。

[典例2]质量为10 g的子弹与电子的速率相同均为500 m/s，测量准确度为0.01%，若位置和速率在同一实验中同时测量，试问它们位置的最小不确定量各为多少？电子质－31量m＝9.1×10 kg。

[思路点拨] 先由Δp＝mΔv求出动量的不确定量，然后再由不确定性关系求出位置的最小不确定量。

[解析] 测量准确度也就是速度的不确定性，故子弹、电子的速度不确定量Δv＝0.05 m/s，子弹动量的不确定量Δp1＝5×10－4

kg·m/s，

电子动量的不确定量Δp2＝4.55×10－32

kg·m/s，

由Δx≥，子弹位置的最小不确定量

4πΔp－346.63×10Δx1＝－4 m 4×3.14×5×10≈1.06×10－31 m，

电子位置的最小不确定量

6.63×10－34Δx2＝ m 4×3.14×4.55×10－32≈1.16×10－3 m。

[答案] 1.06×10－31 m 1.16×10－3 m

[课堂练习] 1．(多选)以下说法中正确的是(

)

3 hh

A．光波和物质波都是概率波

B．实物粒子不具有波动性

C．光的波动性是光子之间相互作用引起的

D．光通过狭缝后在屏上形成明暗相间的条纹，光子在空间出现的概率可以通过波动规律确定

解析：选AD 光波和物质波都是概率波，可通过波动规律来确定光子在空间出现的概率，故A、D正确，B错误；光的波动性是光的属性，不是光子间相互作用引起的，C错误。 2．(多选)下列各种波是概率波的是(

) A．声波

B．无线电波

C．光波 D．物质波

解析：选CD 声波是机械波，A错；无线电波是一种能量波，B错；由概率波的概念和光波、物质波的特点分析可以得知，光波和物质波均为概率波，故C、D对。

3．(多选)关于不确定性关系ΔxΔp≥有以下几种理解，其中正确的是(

) 4πA．微观粒子的动量不可确定

B．微观粒子的坐标不可确定

C．微观粒子的位置和动量不可能同时确定

D．不仅电子和光子等微观粒子存在不确定性关系，其他宏观物体也存在不确定性关系

解析：选CD 不确定性关系表示确定的位置、动量的精度相互制约。当微观粒子的位置不确定性小时，微观粒子动量的不确定性大；反之亦然。故不能同时精确确定微观粒子的位置和动量。不确定性关系是自然界中的普遍规律，对微观世界的影响显著，对宏观世界的影响可以忽略，故C、D正确。

－31－64．电子的质量me＝9.0×10 kg，测定其速度的不确定量为2×10m/s，求其位置测定的不确定量。hh－35＝5.3×10

J·s

4πh解析：由不确定性关系ΔxΔp≥，

4πΔp＝mΔv知

5.3×10－35Δx＝＝－31－6

m≈29.4 m。

4πme·Δv9.0×10×2×10答案：29.4 m ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­[课堂小结]­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­

­ ­ ­ ­ ­ ­

h

[作业] 一、单项选择题

1．下列说法正确的是(

) A．概率波就是机械波

B．物质波是一种概率波

C．概率波和机械波的本质是一样的，都能发生干涉和衍射现象

D．在光的双缝干涉实验中，若有一个光子，则能确定这个光子落在哪个点上

4

解析：选B 机械波是振动在介质中的传播，而概率波是粒子所到达区域的机率大小可以通过波动的规律来确定。故其本质不同A、C错，B对；由于光是一种概率波，光子落在哪个点上不能确定，D错。

hν2．紫外线光子的动量为。一个静止的O3吸收了一个紫外线光子后(

) cA．仍然静止

B．沿着光子原来运动的方向运动

C．沿与光子运动方向相反的方向运动

D．可能向任何方向运动

解析：选B 由动量守恒定律知，吸收了紫外线光子的O3分子与光子原来运动的方向相同。故正确选项为B。

3．在做双缝干涉实验时，发现100个光子中有96个通过双缝后打到了观察屏上的b处，则b处可能是(

) A．亮条纹

B．暗条纹

C．既有可能是亮条纹也有可能是暗条纹

D．以上各种情况均有可能

解析：选A 按波的概率分布的特点去判断，由于大部分光子都落在b处，故b处一定是亮条纹，选项A正确。

4．关于电子的运动规律，以下说法正确的是(

) A．电子如果表现粒子性，则无法用轨迹来描述它们的运动，其运动遵循牛顿运动定律

B．电子如果表现粒子性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其运动遵循牛顿运动定律

C．电子如果表现波动性，则无法用轨迹来描述它们的运动，空间分布的概率遵循波动规律

D．电子如果表现波动性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其运动遵循牛顿运动定律

解析：选C 由于运动对应的物质波是概率波，少量电子表现出粒子性，无法用轨迹描述其运动，运动也不遵循牛顿运动定律，A、B错误；大量电子表现出波动性，无法用轨迹描述其运动，可确定电子在某点附近出现的概率，且分布概率遵循波动规律，C正确，D错误。

5．如图所示是一个粒子源，产生某种粒子，在其正前方安装只有两条狭缝的挡板，粒子穿过狭缝打在前方的荧光屏上使荧光屏发光。那么在荧光屏上将看到(

)

A．只有两条亮条纹

B．有多条明、暗相间的条纹

C．没有亮条纹

D．只有一条亮条纹

解析：选B 粒子源经过两条狭缝，打到屏上的位置不确定，到达某位置的概率大的，则为亮条纹，概率小的，即为暗条纹，大量的粒子会体现波动性，因此有许多条明、暗相间的条纹，故B正确，A、C、D错误。

二、多项选择题

6．下列说法中正确的是(

) A．光的波粒二象性学说，就是牛顿的微粒说和惠更斯的波动说组成的

5

B．光的波粒二象性彻底推翻了麦克斯韦的光的电磁说 C．光子说并没有否定光的电磁说，在光子能量ε＝hν中，频率ν表示波的特征，ε表示粒子的特征

D．光波不同于宏观概念中那种连续的波，它是表明大量光子运动规律的一种概率波

解析：选CD 牛顿的微粒说认为光是由物质微粒组成的，惠更斯的波动说认为光是机械波，都是从宏观现象中形成的观念，光的波粒二象性没有否定光的电磁说，A、B错误，C正确；由光波的实质易知，D正确。

7．影响显微镜分辨率本领的一个因素是波的衍射，衍射现象越明显，分辨本领越低。使用电子束工作的电子显微镜有较高的分辨本领，它利用高压对电子束加速最后打在感光胶片上来观察显微图像。下列说法中正确的是(

) A．加速电压越高，电子的波长越小，显微镜的分辨本领越强

B．加速电压越高，电子的波长越大，显微镜的分辨本领越弱

C．如果加速电压相同，则用质子流工作的显微镜比用电子流工作的显微镜分辨本领强

D．如果加速电压相同，则用质子流工作的显微镜比用电子流工作的显微镜分辨本领弱

12p2解析：选AC 电子或质子在电场中加速时，由动能定理可得eU＝mv＝，又由物22m质波公式λ＝得电子或质子的物质波波长为λ＝hph，所以加速电压越高，电子的2meU物质波波长越小，衍射现象越不明显，显微镜的分辨本领越强，故A正确，B错误；而经相同电压加速后的质子和电子相比，质子的物质波波长比电子的物质波波长小，衍射现象不明显。又因为显微镜的分辨本领与波长有关，波长越小，衍射现象越不明显，其分辨本领越强。故C正确，D错误。

三、非选择题

8．氦氖激光器所发红光波长为λ＝6.238×10－7

m，谱线宽度Δλ＝10－18

m。求当这种光子沿x方向传播时，它的x坐标的不确定量为多大？

解析：红光光子动量的不确定量为Δp＝，

Δλ根据ΔxΔp≥，得x坐标的不确定量为

4πhΔλ10－18Δx≥＝＝ m 4πΔp4π4×3.14≈7.96×10－20 m。

答案：大于等于7.96×10－20 m 9．一电子具有200 m/s的速率，动量的不确定范围为0.01%，则确定该电子的位置时，有多大的不确定范围？(电子质量为9.1×10－31 kg，h＝6.63×10－34

J·s)

解析：电子的动量为：p＝mv

－31－1＝9.1×10

kg×200 m·s

－28－1≈1.8×10

kg·m·s

动量的不确定范围为：

Δp＝0.01%p＝1.0×10－4×1.8×10－28

kg·m·s－1

＝1.8×10－32

kg·m·s－1

由不确定性关系式ΔxΔp≥hhh4π，

得电子位置的不确定范围为Δx≥，

4πΔp

6 h

6.63×10－34－3所以Δx≥－32

m≈2.9×10 m。

4×3.14×1.8×10－3答案：大于等于2.9×10 m

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