一元二次方程的概念课堂实录【1】

第1课时

知识与技能

1.理解一元二次方程的概念.

2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.

过程与方法

1.通过一元二次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.

2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.

情感态度与价值观

1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.

2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.

教学重难点

【重点】

一元二次方程的概念及其一般形式.

【难点】

1.由具体问题抽象出一元二次方程.

2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.

教学准备

【教师准备】

多媒体课件1~3.

【学生准备】

复习一元一次方程和二元一次方程的定义.

教学过程

新课导入

导入一:

请同学们阅读章前问题,并回答问题.

要设计一座2 m高的人体雕塑,使雕塑的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,雕塑的下部应设计为多高?

2如图所示,雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下等量关系:AC∶BC=BC∶2,即BC=2AC. 设雕塑下部高x m,

2可得方程x=2(2-x),

2整理得x+2x-4=0.

【问题】

这个方程是不是我们以前学过的方程?

[设计意图]

帮助学生初步感知上述方程与以往学过的方程形式的不同,通过学生的好奇心激发本节课的学习欲望.

导入二:

观察下列方程:

(1)3x-5=0;(2)2x+3x-2=0;(3)x+3y=0;(4)x+(x+1)(x-1)=0.

22

哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同?

【师生活动】

复习方程、一元一次方程的概念、二元一次方程的概念.

【学生活动】

小组合作交流:观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义.

[设计意图]

让学生体会一元二次方程是刻画某些实际问题的模型,通过复习一元一次方程和二元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系自然地构建出新知识.

导入三:

数字中有许多有趣而奇妙的现象,很多秘密等待着我们去探索发现!现在,我们先来做一个数字游戏:大家先计算出10,11,12三个数字的平方和,再计算出13和14的平方和,看看两个平方和相等吗?你还能找到五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?试试看!

如果设中间的一个数为x,请根据这一问题列出方程.

[设计意图]

本问题可以使学生体会到数学中的奥秘,激发学生探究新知的欲望.学生通过设未知数,寻找等量关系,初步认识一元二次方程.

新知构建

[过渡语]

数学来源于生活,生活中处处有数学.我们一起探究下面的方程是怎样的方程,看看是不是一元一次方程,或者是不是二元一次方程.

一、一元二次方程的定义

给出课本问题1、问题2的两个实际问题,设未知数,建立方程.

问题1 【课件1】

如图所示,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后2将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

教师引导学生思考并回答:

如果设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是

,宽是

,根据方盒的底面积为3600 2cm,得

.

整理,得

.

化简,得

.

解:设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是(100-2x)cm,宽是(50-2x)cm.

根据题意,得(100-2x)(50-2x)=3600.

2整理,得4x-300x+1400=0.

2化简,得x-75x+350=0.

问题2 【课件2】

要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?

思路一

教师引导学生思考并回答:

全部比赛共有

场.

若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他

个队各赛一场,全部比赛共有

场.

由此,我们可以列出方程

,

化简得

.

【师生活动】

设未知数、

根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理.

解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有x(x-1)场.

根据题意,得x(x-1)=4×7.

整理,得x-x=28.化简,得x-x=56.

22

思路二

小组活动,共同探究,思考下列问题.

(1)分析题意,题中的已知条件是什么?

(2)分析题意,题中的等量关系是什么?

(3)如何设未知数?根据题中等量关系怎样列方程?

【师生活动】

教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.

解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有x(x-1)场.

根据题意,得x(x-1)=4×7.

整理,得x-x=28.化简,得x-x=56.

22

[设计意图]

通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.

(教师板书导入一和课本问题所列的三个方程)

请口答下面问题.

(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?

(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几?

(3)方程两边都是整式吗?

【学生活动】

小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.

老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2;(3)方程两边都是整式.

像这样的方程,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.

[设计意图]

通过小组活动,学生通过类比一元一次方程的定义得到一元二次方程的定义,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.

[过渡语]

我们了解了一元二次方程的概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻吧.

【课件3】

请抢答下列各式是否为一元二次方程.

22(1)4x=81;

(2)2(x-1)=3y.

【师生活动】

以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.教师应注意对学生给出的答案进行点评和归纳.

[设计意图]

进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.

[知识拓展]

判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.

二、一元二次方程的一般形式

【思考】

(1)类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?

2一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.

22一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=0(a≠0)后,其中ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.

(2)二次项系数为什么不能为0?

学生思考回答.

[设计意图]

让学生自己概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解,是对数学符号语言的应用能力的提升,同时通过思考强调一元二次方程概念中的易错点.

[过渡语]

我们已经知道了一元二次方程的一般形式,试试我们能不能完成以下问题.

将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

〔解析〕

一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0(a≠0),因此,对方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项、合并同类项等.

2解:去括号,得3x-3x=5x+10.

2移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为3x-8x-10=0.

其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.

[设计意图]

通过试一试,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,需先化成一元二次方程一般形式再求解,同时加深对一元二次方程一般形式的理解.

[知识拓展]

1.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0,左边是关于未知数的二次整式.

2.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要先化成一般形式,并且项或系数都包括前边的符号.

2课堂小结 1.一元二次方程概念需要满足三个条件:

(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.

22.一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0(a≠0),易错点是忽略强调a≠0.

3.确定一元二次方程的项与系数时,一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号.

检测反馈

1.在下列方程中,一元二次方程有

(

)

①3x+7=0;②ax+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x-1;④3x-

=0.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2222

解析:一元二次方程必须满足三个条件:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程,同时注意二次项系数不为0.①和④满足这几个条件,②中二次项系数可能为0,③化简后不含有二次项,不符合定义.故选B. 22.方程3x-3=2x+1的二次项系数为

,一次项系数为

,常数项为

.

2解析:通过移项、合并同类项,化成一元二次方程的一般形式,为3x-2x-4=0,所以二次项系数为3,一次项系数为-2,常数项为-4.

答案:3

-2

-4 =-3是关于x的一元二次方程,则m=

.

2解析:根据一元二次方程概念知未知数x的最高次数是2,且二次项系数不为0,所以m-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2.

板书设计

一、一元二次方程的定义

只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.

二、一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.

布置作业

第1课时

3.若(m-2)

-

一、教材作业

【必做题】

教材第4页习题21.1的1,2题.

【选做题】

教材第4页习题21.1的4,5,6题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列方程为一元二次方程的是

(

)

2A.1-x=0 2B.2(x-1)=3y

C.

-=0 D.(x-3)=(x+3)

22.若ax-5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是

A.a>-2

B.a<-2

C.a>-2且a≠0 D.a>

3.生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是(

)

A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182 C.2x(x+1)=182 D.x(x-1)=182×2

24.方程2x=3(x+6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为

(

)

A.2,3,-6 B.2,-3,-18 C.2,-3,6 D.2,3,6 5.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化为一般形式是

.

226.若方程kx+x=3x+1是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是

.

7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.

2(1)(2x-1)=6;

2(2)3x+5(2x+1)=0.

8.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.

2(1)有一个面积为54 m的长方形,将它的一边剪短5 m,另一边剪短2 m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?

(2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?

9.求方程

x+3=2

x-4的二次项系数、一次项系数及常数项的积.

【能力提升】

2210.若关于x的方程(k-4)x+

-

x+5=0是一元二次方程,求k的取值范围.

222

(

)

11.若关于x的一元二次方程(m-1)x+2x+m-1=0的常数项为0,求m的值.

22

12.当m取何值时,x

2m-1+10x+m=0是关于x的一元二次方程?

2213.求证:关于x的方程(m-8m+17)x+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.

【拓展探究】

2214.已知关于x的方程(m-1)x-(m+1)x+m=0.

(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?

(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.