一元二次方程的概念优秀教案设计

第二章

一元二次方程

2.1

认识一元二次方程

◇教学目标◇

【知识与技能】

理解一元二次方程及其相关概念,掌握一元二次方程的一般形式.

【过程与方法】

经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.

【情感、态度与价值观】

经历估计一元二次方程解的过程,进一步培养估算意识和能力,发展数感.

◇教学重难点◇

【教学重点】

理解一元二次方程及其相关概念.

【教学难点】

由具体问题抽象出一元二次方程.

◇一、情境导入

幼儿园某教室矩形底面的长为8米,宽为5米,现准备在地面正中间铺设一块面积为18平方米的地毯如图所示,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x米,那么你能列出怎样的方程? 二、合作探究

探究点1

一元二次方程的定义

典例1

下列方程中,为一元二次方程的是

(只填序号).

教学过程◇

①x2=16;②x2+2y-3=0;③x(x-5)=x2-2x;④x2-5x-12=0;⑤

+x2-3=0;⑥x2=0.

[解析]

判断一个方程是一元二次方程需同时满足以下三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.只有同时满足以上三个条件的方程才是一元二次方程.

[答案]

①④⑥

(1)判断一个整式方程是不是一元二次方程,应以化简后的结果为准.如化简前含有未知数是2次的项,但是化简后未知数的最高次数是1,那它就不是一元二次方程.如x(x+1)-2x=x2+1.(2)当方程中含有字母系数(又叫参数)时,应区分未知数和字母.如“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其他字母均是常数.

探究点2

一元二次方程的一般形式

2典例2

方程(m-1)x+2x-1=0是不是一元二次方程?

[解析]

不一定.当m≠1时,方程(m-1)x2+2x-1=0是一元二次方程;当m=1时,方程(m-1)x2+2x-1=0不是一元二次方程.

(1)在确定含有字母系数的一元二次方程时,不要漏掉a≠0的条件.(2)一元二次方程的项及系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,写项或项的系数时都包括它前面的符号.比如4x2-3x-2=0的二次项、一次项、常数项分别为4x2,-3x,-2,二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2.

变式训练

将(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.

[解析]

去括号,得x+3-3x2-9x=2x2+1.移项,合并同类项,得5x2+8x-2=0.

其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2.

探究点3

一元二次方程的近似解

2典例3

根据下面表格中列出的数据,猜想方程x+2x-100=0有一个根大约是

(

)

x

00

9.03

9.04

9.05

9.06

9.07

91

84

5

6

9

x2+2x-1-0.39-0.190.0020.2030.404

A.x≈9.025 B.x≈9.035 C.x≈9.045 D.x≈9.055 [解析]

根据x所取的值,可以发现在9.04~9.05时误差最小,结合各选项知C项正确.

[答案]

C 探究点4

列一元二次方程

典例4

如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为多少米?(列方程,并化为一般形式,不解方程)

[解析]

设修建的路宽为x米.

则(20-x)(30-x)=551, 化为一般式为x2-50x+49=0.

三、板书设计

认识一元二次方程

定义

一般形式一元二次方程

近似解

应用◇教学反思◇

通过本节课的学习,学生做到了以下两个方面: 首先,一元二次方程的定义,初步体会一元二次方程各系数及各项之间的关系; 其次,是根据实际问题之间的关系列出一元二次方程,会估算出一元二次方程的解.