六、可能性（通用）优质课一等奖

《可能性》教学设计

省锡中实验学校 陈思思

苏教版义务教育课程标准实验教科书五年级上册第94～95页例1、

“练一练”，第97页练习十七第1～3题。

教材简析：

本单元主要教学用列举的策略解决实际问题的过程。本课的教学重点是让学生感受列举策略的特点和价值，增强分析问题的条理性和严密性。教学难点是根据不同的实际问题的特点，通过合乎逻辑的思考，不重复、不遗漏地列举出符合要求的各种情况。教材一共安排了两道例题，引导学生主动实践并逐步领悟列举的策略。其中，例1侧重于让学生感知列举的基本思考过程和方法，初步积累运用策略解决问题的经验，教材还安排了“练一练”和练习十七中的数个情境各异、数量关系各有特点的实际问题。这些问题虽然涉及不同的知识领域，但却都可以运用列举的策略来解决。解决这些问题，不仅能进一步丰富学生运用策略的体验，而且能使他们逐渐领略策略的广泛应用价值及其思考过程的基本特点。

教学目标：

知识与技能

（1）让学生在解决问题的过程中体验“一一列举”的策略，会用这种策略解决一些相关的实际问题，能通过不遗漏、不重复的列举找到符合要求的所有答案。

（2）培养学生思考数学问题的条理性、有序性，体会解决数学问题方法的多样性、灵活性，发展学生的思维能力。

过程与方法

（1）利用现实的问题情境引发列举思路。

（2）填表列举，增强数学思维。

（3）回顾填表过程，反思相关活动，体会列举策略。

（4）应用列举策略，主动展开列举活动。

情感态度与价值观

使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，并获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。

教学重点：

重点：能用“一一列举”的策略解决实际问题。

教学难点：

难点：能有序的一一列举，做到不重复、不遗漏，并对结果进行分析。

学具准备：22根小棒，学案。

【教学过程】

一．谈话导入，回忆策略

谈话：同学们，我们曾经学习过解决问题的策略，还记得是哪些策略吗？

生：从条件出发；从问题出发；画图；列表……

引入课题：说得很好，列表和画图等都是我们以前学习过的策略。今天我们继续

来研究新的解决问题的策略（板书课题：解决问题的策略）。

热身: 1.把9个苹果分成2堆，有哪几种分法？

让学生会回答：（1，8）、（2，7）、（3，6）、（5、4）

2.用小数点和2，3，4，最多可以组成几个不同的两位小数？

让学生回答：（2.34，2.43，3.24，3.42，4.23，4.32）

{ 设计意图：梳理以前学习知识，初步感受一一列举的策略,用学生已有的会解

决的实际问题为教学引子，唤醒学生对于有序列举的经验，让学生感知本课的

学习重点——有序思考。} 二、感知策略，提取方法

教学例1 ①明确所围长方形的周长。

（多媒体出示例1情境图及文字：王大叔准备用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈。）：

●

谈话：今天我们又遇到了新的问题，园丁王大叔准备用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈。

●

引导：从这句话中，你了解了什么？

生：长方形的周长是18米

谈话：对吗？嗯！你可真会想！

②根据已知条件，进行思想试验

●

引导：你能在脑子里围出一个周长是18米的长方形吗？它的长和宽分别是多少？（停顿）那么，你还能围出第二个吗？（停顿）到底一共有几种不同的

围法呢？（课件出示问题），不妨把你脑子中围出的长方形的长和对应的宽记录下来。填写在1号作业纸上。

长方形的长/米

长方形的宽/米

学生操作，教师巡视。

③从不完整到完整，从无序到有序，初步感知策略。

出示不同的结果。

A：（重复）

长方形的长/米

长方形的宽/米

B：（遗漏）

长方形的长/米

长方形的宽/米

C：（无序列举）

长方形的长/米

长方形的宽/米

D：（有序列举）

（1）

长方形的长/米

长方形的宽/米

（2）

长方形的长/米

长方形的宽/米

5 6 7 8 4 3 2 1 8 1 7 2 6 3 5 4 7 8 5 6 2 1 4 3 8 5 6 1 4 3 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 【目标层次一：列举完整】

●

投影展示A、B、C三位同学的答案

引导：观察一下这些同学的结果，你想发表什么意见？

生1：A不对，长方形的长要比长方形的宽长。

谈话：在长方形中规定，较长的边为长方形的长，较短的边为长方形的宽。这两个（指“长5宽4”和“长4宽5”处）其实是同一个长方形，重复了。

生2：B少了宽是2米，长是7米这一个长方形。

谈话：（出示“长7宽2”的长方形）嗯，B同学遗漏了这样一种情况。

谈话：看来，C同学已经把所有不同的围法都找全了，共有4种，既没有重复也没有遗漏。（拿走A和B，C上移）

【目标层次二：列举有序】

●

出示D（1）D（2）

引导：这三位同学都找到了4种不同的围法，对于他们的结果，你又有什么高见？

生：C写的没有顺序，D（1）和D（2）是有顺序的。

谈话：嗯！我们也来体会一下，一起来读读看。像这样按照数的顺序来有序（出示）地思考，能够帮助我们更好地找全问题的答案。

小结：找全的同学举手？不仅找全，还很有序的同学举手？老师很佩服大家，能把这么多种情况有序地一个一个罗列出来。其实啊，这是一种很好的解决问题的策略，那就是一一列举策略。今天这节课我们就一起来学习一一列举策略。（板书）

{ 设计意图：在列举的过程中，学生的思考有些是杂乱无章的，有些是按照一定顺序来思考的，从而产生了上面几种解答情况。在集体交流时，这些素材的呈现经历了“从不全到全，从全而无序到全而有序”的过程，层层深入，使学生深刻体会到有序地思考确实等够帮助我们列举时条理清晰，做到既不重复又不遗漏。最后的总结起到了画龙点睛的作用，使学生有一种恍然大悟的感觉：原来我们刚才是按照数字的顺序来一一列举的。如果说课前进行的逃生实验是对学生有序思想形成的第一次思想冲击，那么例1的教学，是学生对“有序思想”的进一步体验，从中学生又一次感受到了有序地思考能够帮助我们更好地解决问题，从而使有序思想更深入人心。}

④

回顾

启发：同学们，这种策略在我们以前的学习中其实早就已经遇到过了，你能想到这样的例子吗？（停顿一会）瞧！（出示一年级数的分解与合成），这里用到一一列举策略了吗？再瞧！（出示三年级长方形面积），这里呢？

刚才我们又用到了一一列举策略。看来啊，一一列举策略的应用是非常广泛的。 { 设计意图：通过回顾，将学生头脑中已有的、零散的知识经验系统化，使学

生更好地理解一一列举策略，感受策略的延续性，充分体会策略的广泛运用与价值。} ⑤

通过规律，感受使用一一列举策略的好处。

●

谈话：现在知道了一共有4种不同的围法，小明还把四个长方形的面积算了下，结果他发现了一个规律，下面请你来观察一下长方形的长、宽、面积，你能发现这个规律吗？

生：当长方形的周长一定时，长方形的长与宽越接近，长方形的面积就越大。

谈话：同意吗？掌声送给他！

启发：看来有序地一一列举，还能够帮助我们更好地发现隐藏的数学规律。

三、初步运用策略，使用方法

● 谈话：小明帮王大叔解决了围羊圈的问题后，准备坐公交，我们一起来看一下这个问题（出示练习十七第10题）

● 引导：

（1）从题目中，你知道了哪些信息？

生1：1路车6：20第一次发车，每次发车时间相隔4分钟。

谈话：那么，下一次发车是什么时候？

（根据学生的回答，逐步出示：1路车 6：24 6：28 6：32 ）

生2：2路车6：30第一次发车，每次发车时间相隔5分钟。下一次发车是在6：35。

（根据学生的回答，逐步出示：2路车 6：40 ）

（2）启发：看来发车的时间是有顺序的！从刚才我们了解到的信息，你能看出两辆车第一次同时发车是在什么时候吗？

（3）要求第二次同时发车的时间，你准备用什么策略来解决这个问题？

（4）为了更好地一一列举，有时候我们可以借助以前学过的策略。这里，你准备借助什么策略来更好地列举？

ⅰ、【列表】

1路车

2路车

6：20 6：30 6：24

6：28

引导：还有谁有不同的想法？

小结：大家真了不起，都能根据时间的顺序有序地一

一列举；而且还用到了以

前学过的策略来帮助我们更好地一

一列举。从而顺利地找到了第二次同时发车的时间。

{设计意图：1、教学始终以

“有序”思想为引领，教学时，通过引导、启发，使学生感受到：时间也是有顺序的，我们可以根据时间的顺序来有序思考。通过前两次的解题经验，学生对有序思想已经形成了很好的亲切感与认同感，在解题时，学生会自主地按照时间的顺序来有序地一一列举出两辆车的发车时间，通过对比，轻松找到第二次同时发车的时间，再一次体会到了有序思想的魅力。2、关注策略的综合运用。一一列举策略，对思维的要求很高，能否有序思考是关键；画图与列表策略是学生已有的知识经验，它们的可操作性更强一些。借助列表或画图策略，能够很好地提高一一列举策略运用的有序性。因此，为了更好地解决问题，学生很愿意将新旧策略结合运用。这里的教学给了学生很大的启发。}

四、练习巩固，熟练运用策略。 1.“练一练”第1题

出示“练一练”第1题

引出：根据题目中的条件，你发现音乐钟发出铃声的时间有什么规律？

提问：你打算用什么策略来判断这几个时刻中哪些也会发出铃声？

让学生独立阅读并完成。

交流：下面哪些时刻会发出铃声？你是怎么样确定的？

说明：每隔40分钟发出铃声的规律，继续一一列举，就能知道哪些时刻也会发出铃声。

2.练习十七第2题。

引出：让学生读题，自己打√，确定答案。

交流问题结果，让学生呈现自己列举的表格，说明列举过程、确定答案。

指出：像这样按每个网站更新的规定，在表格里分别把各个网站的跟新日期一一列举出来，就能找到问题的答案。

3．练习十七第3题。

提问：要解决什么问题？每种邮资的付法可以用几枚邮票？

追问：那你想到可以怎样有序列举、解决问题吗？

说明：每种邮资的付法可以用一枚邮票，也可以用两枚、三枚或者四枚邮票。

要做到有序列举，可以先选择每次用1枚邮票付邮资，完了再选择每次用2枚付邮资，然后依次是三枚和四枚邮票付邮资，这样就找到这些邮票能付多少种不同的邮资。

指出：像这种问题，先进行合理的分类，分类后再有序列举，能更好地做到不重复，不遗漏。

{ 设计意图：这道题是本节策略课的生长点，在前面学习的基础上，这里的问题情境相对复杂。由于学生之间存在这个体差异，教学时故作疑虑，以先知带动后知，使所有学生都感受到“先有序地分类，再把每一类有序地列举出来”是解决这个问题的关键，同时也感受到对于一些比较复杂的问题，往往需要多次有序地思考，从而升华了有序思想在解决这类问题中的重要地位。} 五、反思提升，形成策略

谈话：学到这里你有什么收获？

小结：今天学习了用一一列举的策略来解决问题，列举时，要做到有序思考，才能更好地找全问题的答案。对于一些复杂的问题，我们可以先分类，再把每一类一一列举出来。有时候，还可以借助以前学过的策略来帮助我们更好地一一列举。（学生自由回答，教师根据学生的回答加以引导总结）

全课总结：

其实，世界也是有秩序的，秩序无处不在。今天这节课，我们通过学习一一列举策略，也感受了数学是研究秩序的学科，在以后的学习中，我们还将进一步来感受。这节课就上到这里，下课。

板书：

解决问题的策略

一一列举

长与宽的和11=（长）+（宽） 有序

列表

长

宽

面积

不重复

不遗漏

教学反思：

纵观本节课的教学，结合教材和学情，我觉得主要可以从下面几个方面进行反思：

第一，应该选择有趣的素材教学解决问题的策略。如用栅栏围羊圈、搭配菜肴、选择邮票、选择路线……这些素材一方面能调动解决问题的积极性，另一方面能激活已有的生活经验和数学活动能力，主动开展列举活动，体会列举是解决问题的有效方法，逐渐掌握这种策略。

第二，练习应该由简单到复杂，逐渐增加问题的难度，培养列举的能力，发展列举的技巧。这是充分考虑了策略的形成规律而作出的安排。首先例1是比较简单的问题，涉及的知识比较少，只要根据长方形周长的意义，在周长保持不变的前提下，列举出长、宽的各种可能，而且长、宽的米数都是整数。其次，练习是递进的，即使两次“练一练”与例题比较接近，也不是简单的重复。而练习十七里的题都具有新颖性，大多数是生活里的实际问题，个别是纯数学的问题（如第1题）。只有在例题里学到了列举的方法，体会了列举策略才能独立解决这些题。

第三，教学过程应该重实质、不拘泥于形式。列举作为一种策略，用来解决问题时的表现形式是多样的。实际问题的特点和学生的个性差异，使列举的表现形式是灵活的、可变的。在表格里列举是形式之一，它的好处是有助于思考，能清楚地看到问题的各种答案。例题采用表格列举这种形式，目的是帮助学生有条理地列举，不丢失信息。教材里的少数练习题已经画出了表格，这些题确实需要这样做。其他练习题没有画出表格，学生可以设计表格进行列举，也可以不画表格，用自己喜欢的形式开展列举活动。部分实际问题还可以用画图、连线等形式列举。

1、

引发列举活动，初步体验列举策略。

解决问题的策略表现在解题活动中，是通过解题活动逐渐形成的。例1作为本单元教学的起始，让学生初步体会列举是解决问题的一种有效方法。设计的教学活动线索包括“引发需要——填表列举——反思方法——感悟策略”等几个主要环节。

（１）

利用现实的问题情境引发列举思路。

用22根栅栏围一个长方形羊圈，由于每根栅栏的长都是１米，所以围成的长方形的长与宽都是整米的数。配置的情境图能帮助学生理解虽然栅栏的总数22米（即长方形周长）是确定不变的，但围成的长方形的长、宽的数量是可变的，也就是围法是多样的。然后进一步想到，长方形的宽可以是１米、２米……每一个宽都有相应的长。于是产生通过摆小棒求长的思路，其中的“如果……如果……”是初步的列举。教学这个环节要抓住“有多少种不同围法”，领会这个问题的含义，明白为什么会有不同的围法。在交流中体会各种围法可以按宽的米数从小到大有序地列举出来。

（２）

填表列举，加强数学思维。

学生在摆小棒列举的活动中，会感到这种方法比较麻烦，既费时费力，还得把每种围法及时记录下来，才能知道一共有多少种不同的围法。于是产生优化列举活动的愿望，这些对操作的体验是继续填表列举的思想基础。通过摆小棒，学生清楚地看到长方形的一条长与一条宽的和是周长的一半。教材适时提出“先求出长方形长、宽的和，再列表填一填”的要求，学生能够接受和理解。列出的算式22÷２=11（米）能使填表顺利地进行。

已知了长、宽的和之后，把长从大到小列举比较方便，也体现了列举思路有时是多样的。表格里已经填出的一组数据隐含了填表时的思考——如果长10米，宽就是11-10=1（米）。照样子继续填表就不会有困难了。把每种围法的长、宽都记录在表格里，一共有多少种围法就十分清楚，减轻了记忆的负担，学生会喜欢填表列举这种方法。

从摆小棒列举到填表列举，形象思维少了，推理加强了。尤其是假设了长的米数以后，相应的宽是通过计算得到的。这个环节的教学要处理好摆小棒到填表的过渡，激发并利用学生的优化愿望，既使两次列举衔接起来，又体现后者比前者优越。

（３）

回顾填表过程，反思相关活动，体会列举策略。

例１的教学不能满足于获得问题的答案，还要继续提炼解决问题的策略。教材要求算出围成的每个长方形的面积，并比较它们的长、宽和面积。这些活动都要看着表格进行，使学生进一步熟悉表格里的内容，利用表格里的数据。“有什么发现”的话题是很宽的，给了学生独立思考、发现数学规律的机会。如各种围法的

长、宽不同，面积也不同。又如长方形的周长一定时，它的长、宽越接近，面积越大。

在小组里说说解决这个问题的策略，是引导学生回顾解决问题的过程，体会其中的数学思想与方法。这里的回顾先是比较具体的，包括怎样想、怎样算的，采用了什么形式，列表有什么好处，表格是怎样有序地填写的……然后是比较概括的，理解所开展的活动是列举，是解决问题的有效方法。通过这样的回顾初步体验策略，懂得“列举”的含义，并在后面的解决问题时主动应用这种策略。

2、

解决新颖而有趣的问题，突出策略的应用。

练习十七里都是有趣的问题，能调动解题的积极性。前五道题配合例题，第1、2题都要按固定的间隔时间列举，第１题的间隔时间在题目里已经明确，两路车分别是4分钟和5分钟。第２题的间隔时间要从已发铃声的四个时间里发现。这两题在列举之后都还要进行比较，通过列举和比较找到问题的答案，突出了解决问题的主要策略，体现了解决问题的方法不是单一的，而是综合的。第２～５题不规定必须画表列举，学生从自己的需要出发，可以选择画表的形式，也可以不用画表的形式。但是，必须有条理地列举，才能不重复、不遗漏地找到各种可能。

后四道题给学生灵活应用列举策略的空间。