2.2.1 直线的参数方程课时教案

选修4-4第二讲参数方程之三

2．2．3直线参数方程的教学设计

广州市花都区第二中学

杨伟达

一．设计意图

随着科学技术的不断发展，数学从传统的教学模式转变为以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学素质教育的实践模式。课堂上采用学生“独学、对学、群学、展示、点评、反馈”的教学方式。学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学理念。

本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

二．教材及学情分析

教材的地位和作用

“直线的参数方程”是人教A版《数学》(选修4-4)的第二章“参数方程”中第三节的内容,是高中数学选修内容中的一部分。本节课是人教A版《数学2》(必修)中“平面解析几何初步”和《数学》(选修1-1)中“圆锥曲线与方程”等知识的进一步延伸,同时也是研究直线与圆、直线与圆锥曲线的另一种方法。本节内容共两个课时,第1课时主要研究直线参数方程的标准形式,第2课时研究参数方程的应用。

学情分析

学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对直线方程及圆锥曲线的知识有了初步的接触和认识，对其数学公式的运用已具备一定的技能，能体会数形结合思想带来解题便利。学生已经学习了参数方程的概念和参数方程和普通方程的互化及圆和椭圆的参数方程，学生对此有了深刻的认识。但在运算求解、审题分析、转化与化归及思维的严密性还有待加强。

三．教学目标

1．知识与技能

（1）联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决中的作用；

（2）通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想；

1

2．过程与方法

能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义．

3．情感、态度与价值观

通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。通过建立直线的参数过程，激发学生求知欲，养成积极探索、勇于钻研的科学精神．

四．教学重点、难点

教学重点

联系数轴、向量后等知识，写出直线的参数方程．

教学难点

通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在在直角坐标系中的坐标x、y之间的联系．

五．教学策略

教学方式 启发

探究

交流与讨论．

教学手段 多媒体教学．

学法指导 阅读课本第35-37页。关键理解参数t的几何意义及弦长的问题。

六．教学过程

<一>、独学（时间20分钟，独立认真完成，不会的用红笔做标记）

【设计意图】独学部分前置，通过让学生阅读课文及学案，提高学生的阅读理解，提炼数学语言能力，希望学生联系所学的内容，能用所学的知识分析、对比、归纳从而形成直线参数方程的概念，体验数学思维过程，培养学生预习的学习习惯，提高学生的自学能力。

任务1 一、回忆旧知，做好铺垫

教师提出问题

1.共线向量的条件是什么？

2.直线方程的有几种形式？

这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线参数方程做好准备．

二、直线参数方程探究

问题1：经过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线的普通方程是_____________;

合作探究：过定点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程如何建立？

1．直线的参数方程

(1)过点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数为xxotcosyyotsin (t为参数）(2)由为直线的倾斜角知0,时，sin0.

2

2．直线参数方程中参数t的几何意义

参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．

(1)当M0M与e (直线l的单位方向向量)同向时，t取 . (2)当M0M与e反向时，t取 ，当M与M0重合时，t＝ . 教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？

③参数t的几何意义是什么？

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想。

三、练习

1．已知直线l经过点P（-1,2），倾斜角3，写出直线l的参数方程．

4【分析】知道直线的参数方程的几个量，逐一寻找，直接代入，化简求得。

【设计意图】概括并形成直线的参数方程。总结公式的特点。

1,1）2．已知直线l的方程为3x4y10，点P（在直线l上，写出直线l的参数方程．

【分析】检验点P在直线上，通过直线方程一般式求得其斜率，并转化直线参数方程中的cos，sin（为参数）即可。

【设计意图】能够准确快速写出直线参数方程，总结出直线参数方程的三个量，体会方程思想。

任务2 直线的参数方程的简单应用

【设计意图】通过具体例题，分析直线参数方程的三个量，它们分别是什么，已知什么？求什么？怎么求？求交点问题其实是联立方程组转化为一元二次方程，进一步体会参数得几何意义，从而提高学生分析问题，解决问题的能力。

2例1 已知直线l：xy10，与抛物线yx相交于A、B两点，求（1）求AB的长，（2）求点P（1,2）

到A、B两点的距离之积．

【分析】

先检验点P在直线上，根据直线参数方程的三个量直接写出直线的参数方程；交点问题即联立方程组转化为一元二次方程，利用tM0M及

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ABt1t2(t1t2)24t1t2的几何意义求解．

【设计意图】学生通过对学、群学，各小组讨论，最后由学生小组讲解展示，教师点评补充。目的充分调动学生的积极性，达到生生互学、师生互学效果。 x2y21于A,B两点，如果点M恰好为线例2

经过点M（2,1）作直线l,交椭圆164段AB的中点，求直线l的方程。

【分析】通过设置参数写出直线的参数方程，有关交点问题利用联立方程组转化一元二次方程，再根据已知条件写出t1t20式子，从而求出参数。

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。

<二>、对学

对子完成任务1,2后，互相对答案。重点讨论任务2；

在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．

【设计意图】学生通过对学、群学，各小组讨论，最后由学生小组讲解展示，教师点评补充。目的充分调动学生的积极性，达到生生互学、师生互学效果，突显主体作用。 <三>、群学

不懂的地方用红笔圈起来，等待学科长讨论、讲解。重点讨论任务2 【设计意图】群学这样环节目的加深学生对直线参数方程概念的理解及联立方程组让学生感受t的几何意义。

七．当堂检测

【设计意图】当堂检测有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节，让不同层次的学生有所收获

1、直线l通过P0(4,0)，倾斜角6，且直线l与圆xy7相交于A、B两点．

22(1)求弦长|AB|； (2)分别求A，B两点坐标．

【分析】根据直线参数方程的几个量直接写出，联立方程组由弦长公式ABt1t2可求得，利用t的几何意义，求出坐标。

4

【设计意图】体会直线参数方程在解决弦长问题时的作用及t的几何意义．

2、如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为两点，设线段AB的中点为M，求：

(1) 求PM两点间的距离PM； (2)点M的坐标．

4，直线l和抛物线y22x相交于A，B3【分析】知道直线的斜率求出cos,sin，然后联立方程组利用t

的几何意义求解。

【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．

3、已知在直角坐标系x-O-y中，曲线C的参数方程为线l经过定点P(3,5)，倾斜角为x14cosy24sin，直(为参数）. 3(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

【分析】代入化简可求得直线的参数方程。利用cossin1消参可求圆的标准方程。再联立方程组利用的t几何意义可求得|PA|·|PB|的值．

【设计意图】链接高考题，让学生体会直线参数方程在解决弦长问题时的作用及t的几何意义．

八．知识清单

1.直线的参数方程所具备的几个量，体会t的几何意义；特别地cossin1；

2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷；

3.说明：对于直线的参数方程2222xx1atyy1bt22，若ab1需要转化为

(t为参数）xx1costyy1sint何意义。

axxt122ab(t为参数）即为byy1t22ab(t为参数）t才有它的几【设计意图】日日反思有利于学生及时反思，反思一节课所学的重点知识内容及解题方法。

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九．日清反思

一、求法： 二、特点： 三、参数的意义： 十．作业

课本第39页1-4

附带当堂检测的答案

π[例1][解]

(1)∵直线l过点P(1,1)，倾斜角为6，

πx＝1＋tcos6，∴直线的参数方程为πy＝1＋tsin6，

3x＝1＋2t，即1y＝1＋2t

．

因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为

3131A(1＋2t1,1＋2t1)，B(1＋2t2,1＋2t2)，

以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0，①设A、B对应的参数分别t1和t2，

由根与系数的关系得t1＋t2＝—(3＋1)，t1t2＝－2.

（1）|AB|=|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2 = 1223，

（2）所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. [例2][解：设直线的倾斜角为，点M（2,1）

所以直线的参数方程为x2tcosy1tsin

(t为参数）

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代入椭圆方程化简得：(3sin21)t24(cos2sin)t80

因为点M恰好为线段AB的中点

所以t1t20即t1t2b4(cos2sin)0

2a3sin1所以cos2sin0（cos0）

所以tan1

21(x2)即：2yx40

2所以直线方程为y1

附带当堂检测的答案

π1、解：∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝6，

3x＝－4＋2t，∴可设直线l的参数方程为ty＝2.31代入圆方程，得(－4＋2t)2＋(2t)2＝7. 整理得t2－43t＋9＝

设A、B对应的参数分别t1和t2，

由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23. 解得t1＝33，t2＝3，代入直线参数方程

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3x＝－4＋2t，1y＝2t，

13353得A点坐标(2，2)，B点坐标(－2，2)．

42、解：(1)由题意，知直线l过点P(2,0)，斜率为，

34设直线l的倾斜角为α，则tan α＝3，

34cos α＝5，sin α＝5，

∴直线l的参数方程的标准形式为

3x＝2＋5t，4y＝5t

(t为参数)．

* ∵直线l和抛物线相交，

∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，

整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t1，t2，

1525由根与系数的关系得t1＋t2＝8，t1t2＝－4. 由M为线段AB的中点，

根据t的几何意义，得|PM| t1＋t215＝. ＝21615(2)因为中点M所对应的参数为tM＝16，

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将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，

31541x＝2＋5×16＝16，得4153y＝5×16＝4，

413即M16，4. 3、解：(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，

1x＝3＋2t，直线l：3y＝5＋2t

(t为参数)．

(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋33)t－3＝0，

设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.

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