5.1 二次函数教学目标设计

苏科版数学九下《5.1 二次函数》教学设计

南京市竹山中学

夏乾冬

一、教材分析

本节课是在学生已经学习了正比例函数、一次函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数。二次函数是学生初中阶段研究的最后一个具体的函数，与一元二次方程以及高中的一元二次不等式有着密切的关系，延续了前两种函数的研究方法，有着承上启下的作用，同时为今后进一步学习函数奠定基础，此外二次函数与实际生活也息息相关．

二、目标预设

1．经历实际问题的分析，会正确运用二次函数关系式表示变量之间的关系，体会二次函数是刻画现实世界的有效模型．

2．了解二次函数关系式的一般形式，理解二次函数的意义，渗透函数模型思想．

3．通过回顾、生成、迁移，积累学习函数知识的数学活动经验．

三、重点难点

重点：会正确运用二次函数关系式表示实际问题中的变量之间的关系,并化简为一般形式．

难点：会正确运用二次函数关系式表示实际问题中的变量之间的关系,并会求自变量的取值范围．

四、设计理念

基于整体教学观指导下的章节起始课的教学设计。“数学整体教学”能有效促进学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的发展，能使学生己有学习经验在新知识学习中得以有效迁移，能使相关的数学思想在新知识的学习过程中得以彰显，有利于学生形成科学有效的学习方法，提高学习效益，提升数学素养.

根据本节课的特点和学生的已有的知识经验和认知水平，教学中遵循：从情景创设入手，通过问题导学，知识建构，贯穿整个教学；从学生活动出发，通过自主学习、合作交流，实现思维生长．

课堂教学中引导学生类比发现问题、提出问题，从整体上概括思考二次函数研究的内容和方法，实现了“整体感悟“”和学习经验的有效迁移；建构活动和数学认识，让学生经历了二次函数概念的抽象过程，明晰了二次函数的内涵、外延和自变量的取值范围，实现了对二次函数概念的“整体认识”，教师引导学生对二次函数的概念内涵进行“深加工”，让学生在对二次函数的正例、反例作判断的过程中，更准确地把握概念的细节，在学生对二次函数概念内化的基础上拓展延伸，引导学生对一次函数（正比例函数）和二次函数进行结构性认识。

五、设计思路

创设情境—建构活动—数学认识—例题教学—拓展提高—课后小结

六、教学过程

（一）创设情境

问题1：如图1，水滴激起的波纹向外展开，美丽的图案上有变化的量吗?

生成预设：

学生回答出变化的量，比如波纹圆的半径，周长，面积等，教师追问：如果设半径为r，那么如何表示周长C与半径r以及面积S与半径r之间的关系吗？可以得到变量之间的关系，即函数表达式C=2πr

和S=πr2．（教师板书出（图1）

函数关系式）

设计意图：利用熟悉的情境，唤醒学生回忆函数的概念，一方而能让学生感受到数学来源于生活，要善于观察和发现，另一方而比较形象直观地反映了变量之间的关系. 感受函数也是刻画现实世界的有效模型。

问题2：如图2，16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，你能发现问题有哪些变化的量？试一试．

（图3）

（图2）

生成预设：学生可以发现长、宽、面积等变量，教师进行追问：如果设宽为x(m)，那么如何表示长y(m)与宽x(m)以及面积S(m2) 与宽x(m)之间的关系？得到函数关系式：y=8－x和S=－x2+8x．（教师板书出函数关系式）

问题3：如图3，一面长与宽之比为2:1的矩形镜子，四周镶有边框．已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元你．能发现问题有哪些变化的量？试一试．

生成预设：学生可以发现长、宽、镜面费用、镶边费用、总费用等变量．教师可以同样进行追问：如果设宽为x(米)，那么如何表示镜面费用m(元)与宽x(米)、镶边费用n(元) 与宽x(米) 以及总费用y(元) 与宽x(米)之间的关系？得到函数关系式：m=240x2、n=180x以及y=240x2+180x+45．（教师板书出函数关系式）

设计意图：问题2和问题3延续问题1的方式，让学生尝试自我发现问题中的变量．

通过上述探究活动，是学生经历探索变量之间关系的过程，获得用函数表示变量之间关系的体验，发现除了以前学过的一次函数，还有新的函数出现，产生学习二次函数的需求．

（二）建构活动

问题4：

你能对你熟悉的函数和不熟悉的函数进行分类吗？试一试．（黑板上写出或投影出所有情境中得到的函数）

22

C=2πr

S=πr

y=8－x

S=－x+8x．

22 m=240x

n=180x

y=240x+180x+45

生成预设：先让学生独立思考，在练习本上写出自己的分类，然后组内交流，然后进行分组展示，然后老师擦去熟悉的函数（一次函数），为活动2做好铺垫．

追问

不熟悉的函数有哪些共同的特征？你能给他起个名字吗？（留下下面4个函数）

2222

S=πr

S=－x+8x m=240x

y=240x+180x+45

生成预设：先让学生独立思考，然后进行展示、补充，得到二次函数（教师揭示课题：二次函数）

问题5

什么样的函数叫二次函数？类比一次函数和反比例函数，你能给

二次函数也写出一个一般形式吗?或者归纳出自已的定义吗?

生成预设：学生回答，二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c，教师可以追问，这个形式哪里见过？学生回答一元二次方程．在这里，我们也可以称ax2为二次项，bx为一次项，c为常数项，其中，a为二次项系数，b为一次项系数．

追问 你能说出以上4个二次函数表达式的中的a，b，c

吗？

生成预设：学生先独立思考，在练习本上写出，然后请学生回答，

教师投影出表格：

二次函数

a b c

S=πr2

π

0 0

S=－x2+8x

－1 8 0

m=240x2

240 0 0 y=240x2+180x+45 240 180 45 引导学生发现b，c可以为0，但a≠0。

设计意图：通过分类、命名、类比、归纳这一系列层次分明富有深意的教学活动，学生学习的热情被点燃，其已有的知识经验与活动经验被唤醒，经历了“整理”、“概括一般形式”、“探索a，b，c的条件”过程后，抽象这类函数的共同属性，得到二次函数的概念（样子+条件），从感性到理性，从具体到抽象，达成了知识的建构，提高了学生的思维水平．

问题6 通常，二次函数的自变量x可以取一切实数，问题中得到的四个二次函数，自变量是x可以取一切实数吗？为什么？

生成预设：学生可以发现这些实际问题的自变量是收到实际意义的限制，例如S=πr2中，自变量r的取值范围为r＞0，m=240x2

y=240x2+180x+45中，自变量x的取值范围为x＞0，然而S=－x2+8x中自变量x的取值范围让学生通过独立

思考中，合作交流，可以通过解不等式组得到0＜x＜8，在此引导学生进行归纳

求取值范围的方法，突破难点．

设计意图：问题6中内容是学生的难点，他们往往不能很精准的写出自变量范围.因此，此处要留足充分的时间让学生思考、讨论、总结，教师还要适当引导，通过实际问题得到关于自变量的不等式（组），同时培养学生严谨的思维，逐步提升学生独立分析思考的能力.

（三）数学认识（投影）

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，y是x的函数．通常，二次函数的自变量x可以取一切实数．

概念辨析：

判断：下列哪些函数是二次函数？（投影）

123 （1）yxx1

（2）yx(x5)

（3）y3x(2x)3x2

22122

（4）

y13x

（5）

y

（6）

yaxbxc(a、b、c是常数)

23x2x1

生成预设：学生独立思考，然后采用个答的方式，学生进行质疑、补充，可以得到（1）（2）（4）是二次函数．教师可以追问：指出（1）（2）（4）中的a，b，c的值．

追问：己知函数y=ax2 +bx +c(a、b、c是常数)，它可能是哪种函数?（

师生共同完成表格的填写）

a

b

c y=ax2 +bx +c

函数类型

a≠0

b≠0

c≠0

y=ax2 +bx +c

二次函数

a≠0

b≠0

c﹦0

y=ax2 +bx

a≠0

b﹦0

c﹦0

y=ax2

a﹦0

b≠0

c≠0

y= bx +c

一次函数

a﹦0

b≠0

c﹦0

y= bx

正比例函数

设计意图：通过辨析的形式，让学生经历独立思考、质疑补充的过程，从而巩固二次函数的概念．通过追问与先前所学函数知识做一个横向沟通，通过分类讨论，对相近概念进行比较性认识，对同类概念进行结构性认识，揭示二次函数与一次函数(正比例函数)的联系;从系统的角度学习知识，置二次函数于函数知识系统中，明晰函数表达式y=ax2 +bx +c (a、b、c是常数)对二次函数、一次函数(正比例函数)的“统领”，深入本质，去伪存真，发展思维的灵活性，建立科学完善的知识结构，更有利于本节课教学核心的深化. （四）例题教学

例1：将二次函数

y=（2－3x）（6+x）化成一般形式，并写出a，b，c的值．

生成预设：学生独立完成，教师巡视，可以收集部分学生化简中的错误进行展示，让学生进行互相纠错．

例2：如图4，用16m长的篱笆围成一边靠墙（墙长6m）的长方形的生物园饲养小兔，设垂直于墙的一边长为x(m)，面积y(m2)，求y与x之间的关系式，并写5米

出自变量x的取值范围．

生成预设：（1）学生先独立完成，教师巡视．

（2）让完成较好的学生进行分析，教师适时引导，

暴露其思维过程，

即先表示出平行于墙的长度

（16—2x），从而得到

x（图4）

y= x（16－2x）=－2x2+16x，

x.0利用墙长5 m和实际意义，引导学生寻找不等式组162x0，得到自变量x的162x6x8．

取值范围5

设计意图：例1的化简学生容易会和一元二次方程化为一般形式相混淆，出现一些错误，通过此例让学生理解与二次函数的区别，也能再次巩固二次函数的概念，例2是问题情境的一个变式拓展，函数关系式的得到并不困难，难点在于求自变量的取值范围，再此，引导学生发现与问题情境的不同之处，从而寻找问题中的不等式，建立不等式组进行求解．

巩固练习

1．下列函数中，一定为二次函数的是（

）

A．y=3x﹣1

B．y=ax2+bx+c

2C．s=2t2﹣2t+1

D．y=x2+

2．如果函数y(m2)xm2是二次函数，那么m的值是

．

3．将二次函数化成一般形式，并写出a，b，c的值．

（1）y=（1+x）（6—x）

（2）y=（2x）2—（1—x）

4．如图5，一块草地的形状是长为100m，宽为80m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直且宽为x m 的小路，这时草坪的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

设计意图：巩固练习是对当堂内容的及时反馈，

让学生互相批改，并找出哪个地方有错误，还给对方

讲解清楚原因，课堂检测的分数直接反映了每一位学

生的听课效率，而给对方指出错误是对学生更高层次

（图5）

的要求.不仅要自己懂，别人错了还要说理，既锻炼了

学生的语言表达，又培养了同学间互帮互助的学习氛围.

（五）拓展提高

问题7

你觉得后面我们会研究什么问题？

问题8

你还能提出什么问题？

生成预设：

学生个答，教师适时引导，并进行板书，形成本章的大体知识结构．

设计意图：作为章节起始课，提出后面会研究的内容，引导学生回忆一次函数和反比例函数的学习过程，形成研究函数的基本“套路”（教师板书），积累学习函数知识的数学活动经验，通过还能提出什么问题？学生可能提出（类似二次函数与一元二次方程的关系等等），也能让学生体会与函数之间的不同．

（六）课后小结

1、本节课学习了哪些主要内容?有哪些注意点？

2、在本节课过程中,你感受到了哪些研究问题的思想方法? 3、如果让你再去研究一个新的函数，你会怎样去研究？

设计意图：通过前两个问题，让学生进行自我整理，涵盖知识与方法，后两个问题，第三个问题，让学生通过研究三个函数所积累学习函数知识的数学活动经验，通过类比的方法进一步研究新的函数，达到一以贯之的效果，实现思维生长.

七、板书设计

5.1二次函数

后面学习

图像

概念

实际问题

应用

y=ax2+bx+c（a，b，

c是常数，且a≠0）

性质

设计意图

：随着电子课件的不断深入应用，教师越来越忽视板书的重要性，然而本节课是章节起始课，本节课的板书不是解题图，而是本章的知识脉络图，不仅让学生知道我们本节课的内容，而且还要知道后面要干什么？函数的研究方法是什么？

八、教学思考

1、以学定教，在已有的认知上建构概念教学

以学定教，我认为这里的“学”就是学生的已有认知，建构主义理论认为已有认知是学生进一步知识学习的载体，所以学习一定有一条“暗线”，也就是相应的“基本套路”。本节课属于函数概念教学，基本套路是“概念引入（实际问题）—属性归纳—形成概念—概念辨析—概念应用—概念深入”，由于在前面的一次函数、反比例函数，在经历了“二次函数”教学的基本套路中，类比一次函数，体现前后一致，一以贯之的特点，因此，教师备课不能仅局限于某一节课, 而应当把相对成逻辑体系的知识整合在一起。这样，可以强化不同知识的内在联系，实现知识上的主动建构，发展学会说呢过思维水平，积累数学活动经验。

2、以生为本，在问题的探究中提升核心素养

以生为本，我认为就是在从学生的角度设置问题，给学生提供机会促进学生主动探究。史宁中教授说过：数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。而这一切来源于问题，本节课的“二次函数”这一模型，学生在探索过程中，通过实际问题，抽象抽象这类函数的共同属性，形成数学模型，然后引入符号语言表示函数关系，得到二次函数的概念（样子+条件），在行进辨析应用。在这一过程中，教师应精心设计问题，让学生主动参与知识的发生过程，多为学生设计阶梯，铺路搭桥。教师还

要适当引导，让学生经历独立思考、质疑补充的过程，培养学生严谨的思维，合作交流的习惯，逐步提升学生核心素养。