[本专题的学习总结报告]教学设计

坐标系与参数方程的综合应用

【学习目标】

1.

熟悉掌握直线和圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化公式；

2.

掌握直线和圆的参数方程及参数方程化为普通方程；

2．能解决直线与圆的位置关系，曲线的交点，弦长问题，最值问题等。

【重点难点】

直线与圆的位置关系，曲线的交点，弦长问题，最值问题。

【教学预备知识】

1. 曲线的参数方程的概念：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x和y都是某个变数t的函数：xf(t),

① 并yg(t).且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2. 圆的参数方程：

（1）圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：xrcos,

(为参数)，

yrsin.其中，参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度. （2）圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程：3 椭圆的参数方程：

xarcos,

(为参数)

ybrsin.xacos,x2y2椭圆221(ab0)的参数方程（为参数）. abybsin.4. 直线的参数方程：

经过点M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcos,

(t为参数). yy0tsin.说明：（1）直线l上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值；

（2）若t0，则M0M的方向向上；若t0，则M0M的方向向下；若t0，则点M与点M0重合. 注：直线参数的标准形式的应用；

若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则

(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α)．

(2)|M1M2|＝|t1－t2|.

t1＋t2t1＋t2(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝22. (4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0. 5. 参数方程与普通方程的互化：

参数方程化为普通方程的常见方法有：

（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；

（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（常用cos2sin21）；

（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去. 注：参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。

【教学过程】

一．课前热身

1. 曲线的参数方程为{x3t22yt12，则曲线是（ ）

(t为参数）A. 线段

B. 双曲线的一支

C. 圆弧

D. 射线

2 .若曲线C的参数方程为{

(参数,)，则曲线C(

)

y12sin22x2cosA. 表示直线

B. 表示线段

C. 表示圆

D. 表示半个圆

注意：参数方程转化为普通方程，注意转化的等价性，充分利用t的取值范围限制x，y的范围.

3．点M的直角坐标为-3，-1化为极坐标为（

）

A. （2，5711）

B. （2，）

C. （2，）

D. （2，）

66664.下列极坐标方程表示圆的是（ ）

A. 4

B. 2

C. sin1

D. sincos1

5.在极坐标系中，若点A(3，),B(3，)，则△ABO的面积为

（

）

36A.

93

B. 3

C.

D. 9 44例题讲解

例1.（广东省二模22题）

x1cos练***面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程．以O为极点，x(为参数）ysin轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）若直线l的极坐标方程是线l的交点为Q，求线段|PQ|的长．

，射线OM:3与曲线C的交点为O,P与直x1cos变式：把上题曲线C的参数方程改为，第二问的射线改为直线OM:，(为参数）3ysin其它条件都不变，那么线段|PQ|的长又如何求解？

小结：

涉及直线与圆的极坐标方程的题目是高考常考的类型，其常见的问题是直线与圆（或圆与圆）的位置关系和与其相关的线段长度问题，面积问题等。常见的解法有：

1.

先把涉及的直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，在根据直角坐标系中的相关知识进行求解；

2.

直接利用极坐标的相关知识进行求解，其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系。这一过程需要用到三角函数或解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程。

xtcos6(t为参数,t0）,例2.例2.在直角坐标系xOy中，曲线C1：ytsin

6C2:2sin,C3:23cos在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

（1）求C2和C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B，求|AB|的值。

变式1：若C2的极坐标方程改为C3相交于点B，求|AB|的值。

C2:-2sin,其他条件不变，则第（2）问中C1与C2相交于点A,C1与xtcos0在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数,t0）,ytsin变式2：

其中。

C2:2sin,C3:23cos在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

（3）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B，求|AB|最大值。

课后练习：

x2cos1.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数）

y22sin，点满足OP2OM

,P点的轨迹为曲线C2。

M是C1上的动点，P（1）求C2的方程；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

3与C1的异于极点的交点为2.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l和圆C的极坐标方程；

（φ为参数）。以

（2）射线OM：θ

= α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求

的最值。