用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程优质课教案内容

解一元二次方程

西华县逍遥初级回民中学 何巧丽2018年6月23号

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【教案】

21．2．1 配方法

第二课时

教学内容:配方法解系数为1的一元二次方程

教学目标

1、知识目标：理解配方法，会用配方法解系数为1的一元二次方程。

2、能力目标：总结出配方的解题步骤，提高推理能力，进一步体会“降次”的转化思想。

3、情感目标：通过配方法的探究活动，培养学生勇于探究的学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

运用变形的思维方式求得方程的解，体会转化的数学思想，初步感受方程的魅力。

教学重点：用配方法解一元二次方程

教学难点：掌握配方法的推导过程

教学方法：启发式教学、自主学习等方法。

学习过程

一、复习回顾

1、我们昨天学习的一元二次方程的解法是什么？

2、解下列方程，并说明解法的依据：

（1）3-2x2=1 （2）(x+1)2-6=0 （3） (x-2)2-1=0 分析：这三个方程都可以转化为以下两个类型：x=p(p≥0)或者(x+m)＝n(n ≥0)的形式(其中m、22n、p是常数）根据平方根的意义，均可用“直接开平方法来解.如果n<0(p<0)方程就没有实数解。如(x-1)=-2 2二、新课讲解

导入新课

解方程x2+6x+4=0的困难在哪里？

那么你能将方程

x2+6x+4=0 转化为 (x+3)2=5 的形式吗？

这节课我们一起来学习配方法。

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推进新课

怎样解方程x2+6x+4=0 ? 分析：我们已经会解方程 (x+3)2=5. 因为它的左边是含有x的完全平方式右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 那么，能否将方程

x2+6x+4=0 转化为可以直接降次的形式再求解呢？

x + 6x

+ 4 = 0 移项

2 x2 + 6x = - 4 两边加上32,使左边配成x2

+ 2bx

+ b2的形式

x + 6x + 9 = - 4 +9 左边写成 (mx

+ n)2= α

的形式

2（x+3）2=5 开平方

x + 3 = 5 转化为一元一次方程

x + 3 = +5

或x + 3 = -5 解一元一次方程

x1=-3+5

，x2=-3-5

归纳总结

推出概念

知识点1:配方法

把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练习

：

1、填空

（1）x2+ 8x + ____= (x + 4)2 （2）x2- 4x + ____= (x - )2

（3）x2-___x + ___= (x - ___)2

配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方

2、试一试：对下列各式进行配方：

（1）x2

+ 10x + ____= (x +___)2 （2）y2- 12y + ____= (y -___)2

（3）x2- bx + ____= (x -___)2 （4）α2 + 5α + ____= (α +___)2

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知识点2:用配方法解系数为1的一元二次方程的一般步骤

例1：解下列方程

(1) x2-8x +1 = 0 （2）x2+ 1 = 2x （3）y2- 4y + 6 = 0

注：因为实数的平方根不会是负数，所以y取任何实数时，（y-2）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。

规律总结

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2= p的形式

①当p>0时,则

xnp ,方程的两个根为

x1np,x2np②当p=0时,则(x+n)2= 0, x+n = 0,开平方得方程的两个根为

x1 = x2 = - n ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根

思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？

移项时需注意改变符号. 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项：常数项右边移；

②配方：一次系数一半方，方程两边都加上；

③变形：完全平方写仔细；

④降次：直接开平方；

⑤解一次方程. 3、用配方法解方程

x2+ 8x + 7 = 0方程可化为（ ）

A、（x－４）2＝9 B、（x＋４）2＝9 C、（x－８）2＝16 D、（x＋８）2＝57 4、用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为( ) A、(x+3)2=16 B、(x-3)2=16 C、(x+3)2=2 D、(x-3)2=2 5、用配方法解下列方程.（不同层次的学生选做）

(1)x2+10x+9=0； (2) -y2+ 4y-3=0

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(3) x2+12x=-9 (4)x2+4x-9=2x-11 (5) x(x+4)=8x+12 (6)(y-2)2+y=2

拓展延伸

1、若

x2+y2+4x-6y+13=0,求xy的值。

2、若代数式

x2 + 2(m+1)x + 25是完全平方式,则m的值是( ) A、4 B、- 6 C、4 或–6 D、- 1

学习小结

1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？

2、在学习的过程中你有什么体会？

结束寄语

配方法是一种重要的数学方法，即配方法可以助你到达希望的顶点. 一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型. 这节课最关键的是用了转化的数学方法，再次体会数学中的由未知转化为已知。

布置作业

教材17页 习题21.2 第 2、3题

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