矩形的性质与判定的综合应用教案推荐

张家口市第七中学数学组

§1.2矩形的性质与判定（第3课时）教学设计

【北师大版九年级上学期】

张家口市第七中学

朱会阳

【学情分析】

学生在八年级已经学***行四边形的性质和判定，本学期也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定；本节前两课时，学生分别学习了矩形的性质定理与判定定理，本节课是矩形的性质与判定的第三课时，是对前面学习的进一步深化、对矩形知识的综合应用．

在前面相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经具备一定的研究经验，逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化、类比等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力．

【教材分析】

1．在教材中的地位与作用

生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛．前面两节学习了矩形的性质与判定，为以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点．

2．对教材的处理

本节课主要是应用矩形的性质定理与判定定理解决相关问题，利用这节课来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力．使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展．在选题时，根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题，使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性．教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富有个性的学习．

3．教学目标

（1）进一步加深对矩形性质与判定定理的理解，提高对矩形知识的综合运用能力；

（2）经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力；

（3）通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立学好数学的信心．

4．教学重点与难点

重点：对矩形判定定理和性质定理的深入理解和综合应用；

难点：矩形判定定理与性质定理的综合应用．

【教学方法与教学手段】

1．教学方法

探究发现、合作学习的方法

2．教学手段

采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率．

崇文

尚行

明德

至善

1

张家口市第七中学数学组

【教学过程】

第一环节

复习导入

1．如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，则：

（1）∠ABC＝∠____＝∠____＝∠____＝90°，为什么？

（2）AC、BD有何数量关系，为什么？

2．如图2，四边形ABCD，添加一个条件________________，可使它成为矩形；

若四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件________________，可使它成为矩形. AOB图1CDAOBD

图2C

设计意图：

1．通过两道题目复习矩形的性质和判定，复习旧知识为本节课进行热身．

2．学生回答解题时使用的方法，进一步为本节课的开展做铺垫．

第二环

讲授新课

例1．如图1，在平行四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE. （1）△ABO是什么形状的三角形；

（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，且AD＝6，求AE的长. 对于（1）教师引导学生用分析法解决问题，找到条件中的有效信息: 师：已知中有几个条件

生：三个（此处预设学生能很容易提炼出三个条件：平行四边形、AE⊥BD、ED＝3BE) 师：由平行四边形ABCD能得到什么条件，你能根据这些条件并结合题干中的其他信息完成（1）中的问题吗？请和同桌交流你的结论，并说明原因．

用2-3分钟让学生们互相交流，然后请1-2位同学说明自已的结论,教师予以补充．

DA教师板书完整过程. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

O1∴DO＝BO＝BD（平行四边形对角线互相平分）.

E2CB图1 ∵ED＝3BE，

DA∴BE＝OE. 又∵AE⊥BD，

O∴AB＝AO. E∴△ABO为等腰三角形. CB图2 师：将平行四边形ABCD变为矩形ABCD，（1）中的结论还成立吗?为什么？

生：成立，矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质. 师：又能得到哪儿些新的条件。与组员交流你的想法并试着完成问题（2）. 用2分钟让学生们互相交流，然后请1位同学说明自已的结论，教师予以补充．

教师板书完整过程. 解：（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴由（1）可知，AB＝AO

11∵AC＝BD，AO＝AC，BO＝BD（矩形的对角线相等且互相平分）

22∴AO＝BO. 崇文

尚行

明德

至善

2

张家口市第七中学数学组

∴AB＝AO＝BO. 即

△ABO是等边三角形. ∴∠ABO＝60°. ∴∠ADB＝90°–∠ABO＝30°. 在Rt△AED中，

∵∠ADB＝30°，

11∴AE＝AD＝×6＝3. 22设计意图：这道题的第二问是对矩形性质的应用，考虑直接给第二问学生思维上的跨越，故有第一问的铺垫，同时，通过教师引导和独立思考，学会用分析法和综合法分析问题，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯．在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力．通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步．

例2．如图3，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．

M求证：四边形ADCE是矩形．

EA 此题学生独立思考1-2分钟后，找学生口述回答，此处预设学生的答案

N应该不唯一，教师鼓励学生大胆说出自己的想法，并及时给予肯定. 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，

11∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM. 22BCD∴∠DAE＝∠CAD+∠CAN

图3 1

＝（∠BAC+∠CAM）

21

＝×180°

2

＝90°. 在△ABC中，

∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC. ∴∠ADC＝90°. 又∵CE⊥AN，

∴∠CEA＝90°. ∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.

设计意图：本题是对矩形判定定理的应用，旨在培养学生运用已有知识解决问题，进一步发展学生的推理能力，通过证明，让学生体会转化的数学思想．在例题4的证明中，通过学生找寻到的不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性．让学生在思维最活跃的时M候，最大化地提高学生能力．

EA变式1：在例题2中，若连接DE，交AC于点F（如图4）

N（1）

试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. F

（2）

线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.

（1）

师：直观上感觉四边形ABDE是什么形状？

BCD生：平行四边形

图4 崇文

尚行

明德

至善

3

张家口市第七中学数学组

师：平行四边形的判定方法有哪儿些？

生：两组对边平行；两组对边相等，一组对边平行且相等；对角线互

相平分. 师：结合例4中已知条件和已经证明的结论，选择合适的方法证明你的结论. 小组合作2分钟，然后派一个代表口述你们的证明过程. （2）

有了第一问的结论，此处预设学生很容易完成该问，教师只需提醒线段的关系要从位置和数量两个方面说明.

设计意图：本题是对例4的拓展，综合性比较强，对于不同层次的学生，本题的考虑方法也会有区别，教师都应该鼓励学生大胆尝试，用自己的方法去试着解决．

变式2：如图5，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上(不与A，B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连接EF，求EF的最小值．

C分析：此题考虑先给学生1-2分钟独立思考时间，预设大部分学生解决此题

有难度，教师视情况给予学生提示：E、F是否为定点；能否将EF进行

FE转化；如何转化. AB

P设计意图：本题是矩形性质定理与判定定理的综合应用，并结合有动

图5 点问题，难度上较上两道题有所增加，旨在提高学生的综合应用能力．

第三环节

课堂练习

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（

）

A．∠ABC＝90°

B．AC＝BD

C．OA＝OB

D．OA＝AD

2．已知矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为

20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（

）

A．10cm

B．8cm

C．6cm

D．5cm 3．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；

②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形.其中，正确的有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，

EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（

）

A．AB＝BE

B．DE⊥DC

C．∠ADB＝90°

D．CE⊥DE

5．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，

BC＝12，点A表示的数是－1，则对角线AC，BD的交点表示的数是（

）

A．5.5

B．5

C．6

D．6.5

6．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E. （1）求OC的长；

（2）求证：四边形OBEC为矩形；

（3）求矩形OBEC的面积．

崇文

尚行

明德

至善

4

张家口市第七中学数学组

设计意图：本组设计了6道题，由易到难，层层深入，使学生经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.

第四环节

课堂小结: 说说你的收获．

总结内容：学生互相交流矩形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等．

设计意图：鼓励学生结合前面的证明畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识．

第五环节

布置作业

习题1.6 知识技能1、2、3、联系拓广4

崇文

尚行

明德

至善

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