复习题第二课时教学设计

《反比例函数复习》

赵文慧

龙文区漳州第九中学

指导老师：林惠珍

一、教学内容分析

函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例又是基础函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上。通过本节课学习，让学生进一步体会反比例函数的意义，能根据图像和解析式进一步探索反比例函数的性质，能用反比例函数解决某些简单的实际问题。因此，本节课是学生对函数的概念、图像、性质一个再知和整合的过程，是学生体会转化思想、数形结合思想等数学思想方法的必要体验。

二、学情分析

函数是初中学生中考数学的“难过的坑”，学生刚接触反比例函数开始时觉得比较简单，越到后面越发现，难度越来越大，发现很多题目都做不出来。大部分题目题型变化特别大，学生没有去挖掘题目中的相关知识的联系，碰到函数与几何结合，很多学生更是直接选择放弃。而优生虽然学习热情高，但对问题的分析能力、概括能力、化解难点等方面存在严重不足。

三、目标分析

（一）

知识与技能

1.通过对实际问题中数量关系的探索，掌握函数的思想去研究其变化规律。

2.结合具体情境体会和理解反比例的意义，并解决与它们有关的简单的实际问题。

3.让学生参与知识的发现和形成过程，强化教学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力。

（二）

过程与方法

反思在具体的问题中探索数量关系和变化的过程，理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种数学模型的意义。

（三）

情感态度与价值观

培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法，体会函数在实际问题中的应用价值。

四、重难点分析

1.教学重点：反比例函数的图像和性质在实际问题中的应用。

2.教学难点：运用函数的性质和图像解综合题，要善于识别图形，善于思考，获取有用的信息，灵活的运用数学思想方法。

五、教学过程设计

（一）引入 根据已知条件确定反比例函数的表达式

画出反比例函数的图象

k＞0和k＜0时，y =

(k≠0)图象的变化情况

掌握

掌握

理解

1

用反比例函数解决简单实际问题

掌握

设计意图：通过展示考纲中反比例函数部分的要求，直接引出本节课的目标，并根据学生对函数的描述引导学生找到以下四点来分析函数：

1.概念（1）认识反比例函数

（2）求

解析式：待定系数法

2.图像：双曲线

3.性质：（1）位置

（2）对称性.

（3）增减性.

（4）

K的几何意义

4.综合应用：数形结合解决实际问题

（二）教学过程

四大视角看函数

第一部分

反比例函数概念

1.反比例函数：一般地，如果两个变量之间的关系可以表示成：

（k为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x的反比例函数。

2.反比例函数的自变量x,因变量y的取值范围：（x≠0，y≠0）

3.反比例的表达式：

（k为常数，且k≠0）

（一般式）

y=kx-1

（k为常数，且k≠0）

（指数式）

xy=k

（k为常数，且k≠0）

(乘积式)

4.求函数解析式的方法为

待定系数法：

一设、二列、三解、四还原

设计意图：从最基础知识入手，复习反比例函数概念和表达式时，在复习中一定要抓住关键点，x的指数为-1，系数不为0。在这个简单的知识复习后，及时做题巩固。

基础知识过关之一:

（1）．下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）

A、

y



x

B、

y



2

C、

y



x

D、

yx12

k

1x31

（2）.下列4个点，不在反比例函数

y





6

图象上的是(

) xA.(2,-3)

B.(-3,2)

C.(3,-2)

D.(3,2) 2

是反比例函数，则a的取值为（

）

（3）.若

y



(

a



1

)

x

a

2



A．±1

B．1

C.-1

D．任意实数

（4）.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长xcm与宽ycm之间的函数图象

大致为（

）

y

o

A x

B y

o

x

y

o

x

y

o

x

C D

第二部分：反比例函数的图像和性质

函数

解析式

图象

正比例函数

y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) 反比例函数

ky或ykx1或xy=k(k0)xy

k>y

o

x

o

x

k<0

对称性

图象的位置

既是轴对称图形，又是中心对称图形

当k>0时，在一、三象限；

当k<0时，在二、四象

当k>0时，在一、三象限；

当k<0时，在二、四象限

在每一个象限内

当k>0时，y随x的增大而减小

当k<0时，y随x的增大而增大

增减性

当k>0时，y随x的增大而增大

当k<0时，y随x的增大而减小

设计意图：课堂上ppt展示先显示复习反比例函数的图像及其性质，在反比例性质中，要3

注意增减性的变量范围是在每一个象限内。反比例性质讲完后再引出正比例函数的图像及其性质，通过对比，理清楚他们的区别与联系，促进学生知识的理解与巩固。

基础知识过关之二

：

3（5）.对于反比例函数

x

，下列说法正确的是（

）

y

A．图象经过点（1，﹣3）

B．x＜0时，y随x增大而减小

C．x＞0时，y随x的增大而增大

D．图象在第二、四象限

k（6）.在同一直角坐标系中，函数y=kx＋3 与

y



(k≠0)的图象大致是（

）

x

重点解析1：图像性质问题

已知点A(1，y1)，B(x2，y2 )，都在反比例函数

y



的图象上，

则___＜___

(填y1

，

y2 )．

2x2y变式1：已知反比例函数

，若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，C(x3，y3)

x

是这个反比例函数图象上的三点，且

，

则___＜___ ＜___ (填y1

，

y2，y3 )．

变式2：在反比例函数

y



k

的图象上有两点A(x1, y1 )，B(x2 ,y2 )，

x

当x1<0< x2有y1 < y2

，则k的取值范围是________．

设计意图：比较函数变量大小是热门考点，难度不大，但也是易错点。应在讲评中引导学生可通过数形结合来解决此类问题。

第三部分：k的几何意义：

4

基础知识过关之三

：

S矩形OAPBOAAP|x||y||k|SOAP111OAAP|x||y||k|222

（7）.如上右图

，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂

线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为

yAOCDBxS1，RtΔCOD的面积为S2，则

（

）

A.S1

＞S2

B．

S1

C.S1=S2

D．

S1与S2的大小关系不能确定

重点解析2：千变万化来玩K

（8）

如图：已知点A是反比例函数

ykx上的点，过点A作

AQ⊥x轴于点Q，

已知△AOQ的面积3，则k的值为（

）

A. 6

B. -6

C.-3

D.

3 注意：本题在题目展示时，题目不变，图片依次更换展示。

图1

图2

图3

图4 设计意图：像这样的图形变换叫等积变换，在这个过程中面积都是不变的，还要注意不要忽略k的符号。在这个过程中增强学生的感性认识，对K值的几何意义和等积变换合加深印象。

第四部分：综合应用

题型一：反比例与三角形全等

(9)如图直线

与x、y轴交与B、A,点M为双曲线

5

上的一点,若

为等腰直角三角形，求K的值

C D 分析：

过M作CD∥x轴，过B作BD⊥CD

易得△ACM≌△MDB ，A、B两点坐标分别为（0，-1）,（5,0）

设M坐标为（x,y）,设CM=x，CO=BD=y

由全等可知

AC=1+y=MD=5-xCM=x=BD=y 解得x=y=2 ，即M坐标为（2,2），

∴ k=4

设计意图：从函数到几何，学生经历观察、抽象、建立模型的过程，将函数问题转化为几何问题，深入去引导学生形成数学几何的思想，提高数学中知识转化的能力，并为题型二做铺垫。

题型二：反比例与三角形相似

(10)已知直线

与

双曲线

交于点

A,将直线

向右平移4.5个单位后,与双曲线交于点B,与x轴交于点C,若

,求k的值 ．分析：作AC⊥x轴，BE⊥x轴

易得△ADO∽△BCE

且相似比为2

直线平移后可得C坐标为（4.5,0）

设A为（

x,

），则B坐标为（4.5+x，

）

D E ∵A、B在双曲线上

∴解得x=3

A的坐标为（3,4）

∴K=12

题型三：反比例与图形变换

(11).如图，直线y＝

− 12 x＋1分别交x、y轴分别于A、B，

将线段AB绕点M旋转180°得线段CD，双曲线

恰好过C、D、M三点，求k的值 .

分析：由已知可得A、B两点坐标分别为（2,0）和（0,1）

设M坐标为（a,b）,M为AC、BD中点

可得C、D坐标分别为（2a-2，b）6

（2a，2b-1）

∵M、C、D三点都在双曲线上

∴ab=k ,(2a-2)b=k ,2a(2b-1)=k ∴k=

得a=

,b=

设计意图：从几何到函数，一定要抓住，点在函数图像上是本部分解题的关键。

题型四：反比例与一次函数

k1yy如图，反比例函数

的图像与一次函数

x

的图像

，分别

交于M、N x2两点，已知点M（-2，m），

求:（1）求反比例函数的表达式；(2)直接写出不等式

的解集

（3）点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角

时，写出点P的坐标

分析:

∵点M（-2，m）在一次函数图像上，

∴M（-2，1）．

4y3∵反比例函数的图象经过点M（-2，1），

1m=2122∴k＝-2×1＝-2

∴反比例函数的表达式为

yx根据图像的对称性可知N坐标为（2，-1）

结合图像可知

的解集为2＜x＜0，和

x＞2

M211234–4–3–2–1o–1–2–3–4xN结合图像分析，∠MPN为直角，o是△MPN斜边上的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知OP=MO=NO,从而求出P的坐标。

设计意图：函数综合题是中考热门考点，同时考察多种函数的性质，精选本题作为例题练习让学生必要的巩固与深化，促进学生体会反比例函数图像的作业与数形结合的思想。

（三）课堂小结

一个核心思想：数形结合思想（用数表达，用形释义）

两个性质：增减性、对称性

三种应用和三个注意：图像性质问题、K值问题、函数综合应用问题

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变量取值范围、增减性前提、k值符号问题

（四）布置作业

1.一次函数y=-kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（-，y1）、（-1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（

）

A．y2＜y3＜y1

B．y1＜y2＜y3

C．y3＜y1＜y2

D．y3＜y2＜y1 2.如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：

①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．

其中正确的结论是（

）

A．①②

B．①②③

C．①②③④

D．②③④

3. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，如图1所示当气球内气压等于120 kPa时，气球的体积应（

）

A.53534343m

B.小于m C.m

D.小于m

44554.如图2所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC 的面积是2.若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为(

) A．y1

xB．y

2

C．yx21

D．yx21

2xy

A O C y=x

B x y C A O 1

8 B x

图1

图2

图3

图4 3.如图3，点A在双曲线y13yx上，点B在双曲线x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，

若四边形ABCD为矩形，则A点坐标为 ，B点坐标为

，CD= . 4．如图4，Rt△ABC在第一象限，BAC90，AB=AC=2，点A在直线yx上，

其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴，AC∥y轴，若双曲线则k的取值范围是

. ykxk0与△ABC有交点，

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