猜想、证明与拓广优秀教学设计

综合与实践

猜想、证明与拓广

初三年级

齐

燕

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。

二、教学任务分析

《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）课题学习的内容，教材以两个具体的几何议题（“倍增”和“减半”图形存在性问题），创设了问题情景，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法。本例涉及第一课时“倍增问题”. 猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中让学生不断的体会由一般到特殊的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法.培养学生直观“判断”和正确“猜想”，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。猜想要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“倍增”再到“减半”的“拓广”，总结获得的数学知识和策略性的经验，发展学生的推理能力和探究能力.所以我选择了以“自主探索，大胆猜想——启发诱导，数学证明——分组讨论，合理拓广”为主的教学方法．不断经历猜想、判断、证实或修正，综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识，由特殊到一般地探索与发现的过程，让学生在“做”中“学”，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法，整个教学过程教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自行找到解决问题的方法。

三、教学目标分析

1、通过创设问题情境，让学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。

2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系，理解证明的必要性。

3、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。

四、教学重点、难点

教学重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.

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教学难点：在问题解决过程中的策略和方法。

五、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：提出问题，猜想探究；第二环节：思维拓广，证明猜想；第三环节：问题拓广，自主探究；第四环节：总结反思，方法提炼；第五环节：布置作业，巩固所学。

第一环节：提出问题，猜想探究；

情境问题：看这幅美丽的正方形图片，如果想把它的周长和面积同时扩大为原来的2倍，使它成为一个新的图片，能实现吗？先猜想结论，并尝试用数学的方法，科学的解释你的结论

设计意图：把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为由知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中

实际问题转化为数学问题(1)任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？

设计意图：让学生感知到我们不仅解决了问题,而且学会多种方式多种途径思考问题,发散思维.

（教学策略：提出问题后引导学生课前思考，小组交流，课上小组代表汇报结果。学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。）

证明方法为：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所

2以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a

，则边长应为2a，此时周长应为2242a，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。

思考：1、我们所学***面图相中，还有哪些图形做不到周长和面积分别是已知图形周长和面积的2倍？你能说说理由吗？

2、正方形是特殊的长方形，既然不存在一个正方形他的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍，那么对于一般的矩形，是否存在另一个矩形使它的周长和面积分别是已知图形周长和面积的2倍呢？

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问题（2）任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? 教师引导学生思考：（1）矩形的形状太多了，我们如何来探索问题2呢？

（2）从具体的矩形入手研究:比如长宽比为2:1的矩形，如果已知矩形长和宽分别为2和1，结论会怎样？

组序

第一组

第二组

第三组

第四组

第五组

项目

长

宽

长

宽

长

宽

长

宽

长

宽

已知矩形

3 1 4 1 n 1 3 2 5 3 所求矩形

中你能得到怎样的猜想？

（分组探究，每一小组选择一个数据展开探究）你是怎么做的？与同伴交流。

（学生小组探究交流，汇报结果，教师出示几何画板演示两种“固定面积”和”固定周长”情况下周长和面积的变化学生感受数据的变化但结论不变）

思考：你能小结一下各个小组解决这一问题的思路和方法吗？（学生小结完后教师小结）

设计意图：由特殊的矩形正方形的研究，过渡到一般的矩形，凸现类比的数学思想方法，以类比引起新的认识冲突，促使学生重新审视，认真探究。总结出探究问题的方法：从特殊到一般的数学思想；体会数学建模在探究过程中的作用，体会“数形结合”，“转化”等思想方法，拓展学生的思维空间。

（教学策略：由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考，一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问题（1）直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后，再进行一般情况的证明会更好一些。这样在具体问题的解决过程中，会给学生一些启示，有助于学生一般情况下的证明思路的形成。）

该环节留给学生充分思维的时间，四人小组讨论探究，发散思维，解决问题。并在全班交流。

解决的方式很多：如一元二次方程，二元一次方程组，函数……如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流. 总结如下:有三种思路可以选择: ①先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为x，将问题化为方程x(6－x)=4是否有解的问题. ②先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为x，将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题. ③也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积同时扩大2倍后应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组x+y=6 ，xy=4然后讨论它的解是否

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符合题意. 然后引导学生再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得到一个猜想。从而将探究活动推向第二环节拓展思维，证明猜想。将学生的思维逐渐推向高潮。

第二环节：拓展思维，证明猜想；

思考：当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？

设计意图：将问题转化为方程或方程组有无解的情况加以探究，使猜想得到验证前面将问题特殊化后，在解决时积累了不少宝贵经验和方法，此时再将一般问题作为研究对象，符合一般认知规律，由于此问题涉及到解含有字母系数的一元二次方程还要讨论mnm2n2是否大于0的问题，对于多数学生来说会产生一定的困难，采用师生共析．

于是得到结论：任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。

第三环节：问题拓广，自主探究；

思考：1、我们除了研究矩形的周长和面积“倍增”问题还可以研究哪些图形的周长和面积“倍增”问题？

我们可以研究既然存在周长和面积倍增关系的矩形，那么是否存在减半的矩形呢？类比前面的探究，你还能提出哪些猜想？

设计意图：引导学生继续将问题向纵深拓展，发散思维，拓展思维；学生根据结论进一步猜想，提出新的问题；教师引导、鼓励学生生成新的猜想；

第四环节：总结反思，方法提炼；

1、在本节课有关正方形周长和面积倍增问题中及矩形“倍增”中，我们综合运用了哪些数学知识？

2、通过本节课的学习你体会到了哪些数学思想方法？

3、从代数运算的角度考虑，对于一个几何存在问题，我们往往可以转化

为 问题；从形的角度分析，对于一个几何存在问题，我们又可以转化为 问题。

4、对于一个数学问题的探究一般我们都要经历什么过程？

学生总结完成后，教师补充总结

（1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系. （2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性. （3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有

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助于开阔学生的视野. 5、分发“课题学习记录卡”，学生课余填写记录卡

设计意图：（1）知识性内容的小结，可把课堂传授的知识尽快化为学生的素质；（2）数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标；（3）记录卡既可以用于教师课后了解学情，使得小组活动可以得到落实，又可以为学生进一步作课后的拓广和交流提供条件．帮助学生掌握研究问题的科学方法，体验“猜想——验证——结论”的思维模式.

第五环节：布置作业，巩固所学；

1、181页1,2,3. 2、写篇小论文，把课题学习探索的过程

和探索得到的结果及你的感受体验整

理成数学小论文。

六、教学反思

一节课下来，我认为设计最成功的亮点在于：（1）引导学生两次对问题的结论进行猜想，第一次是在有关正方形的问题时猜想“是否存在”，这里学生只是停留在直觉猜想上，而第二次在有关矩形问题时，同样问了“是否存在”，我们可以看到，老师又问“你为什么要这样想？”时，学生已经经历了反思、借鉴和数学经验积累的过程；（2）引导学生在经历了一堂课的探究后提出一些新的问题．（3）借助于几何画板，从形的角度突破了难点，验证了学生的猜想；

在教学过程中，鼓励学生主动的从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动，使学生了解不同的思考途径所带来的新的认识，更进一步适时的引导学生总结获得知识规律，解决问题的方法，并将它们上升到方法论的层面，如从不同角度思考问题的思维方式及学会积累生活的经验，善于反思等等. 不足之处：1、问题抛的有点大，没有给学生留有足够的思考时间，导致学生没有弄明白我们要解决的问题是什么；

2、对学困生的关注不够，没有给予及时的指导；

3、没有很好的把控学生的活动时间，导致课堂拖堂

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