复习题教学实录及点评

探索反比例函数基本图形面积不变性

漳浦达志中学

陈志惠

一、给合课标与考纲阐述设置为总复习关键教学点的理由

本节课教学的主要内容是探索反比例函数基本图形面积的不变性，让学生从“形”与“数”两个角度理解反比例函数比例系数K的几何意义，其中蕴含了化归与转化、数形结合思想，是培养学生抽象概括能力、推理能力和应用意识的良好载体。所以依托本节专题课的复习，让学生掌握转化的基本技巧，学会构造法和坐标法两种重要的解题方法，渗透从特殊到一般、数形结合思想，也为学生自主进行数学探究活动积累经验，体会从感性认识到理性认识，发展理性的数学思考的思维品质，为高中阶段后续学习提供重要的活动经验和策略方法。

二、学情分析

1、知识基础

在本节课的复习前，学生已经复习了一次函数、二次函数及反比例函数基础知识的积累，学习了相交线、平行线、三角形、四边形、圆等空间与图形的相关知识，对于简单的反比例函数的图象与性质掌握较好，但学生对反比例函数K的几何意义的理解只停于表面，不能很好地从“形”与“数”两个角度进一步认识，用函数观点思考问题。

2、学习方法

学生已经积累了探索函数问题的基本方法，如画函数图象，观察图象归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变化趋势等，积累了基本几何模型的特征、构造及应用，学生喜欢用探究式的学习方式，通过自已的分享来体验知识间的内在联系。

3、能力水平

学生对于图形的空间想象力相对比较薄弱，知识整合能力不足，特别是对复杂图形问题、动点问题、图形变换问题不知所措。本节通过几何画板演示，力求使学生更直观认识反比例函数基本图形面积的不变性。

三、复习目标及重、难点分析

（一）复习目标

1．经历梳理知识的过程，结合图象理解反比例函数K的几何意义。

2．掌握反比例函数基本图形面积不变性及常见的结论和方法，并会利用这些结论和方法解决复杂图形的面积问题。

3．经历问题的探究过程，学会从“形”与“数”两个角度思考问题，体会特殊到一般的研

1

究方法，渗透转化、数形结合等思想方法。

（二）重点

（1）借助问题串梳理知识，理解反比例函数K的几何意义。

（2）利用反比例函数中的基本图形面积不变性来解决复杂图形的面积问题，归纳总结求复杂图形面积问题的策略与方法。

（三）难点

（1）通过模型变式、典例分析，使学生知识内化、能力得到提升。

（2）培养学生的模型意识，并学会用运动变化的观点思考问题，在复杂的问题情境中能将复杂问题转化为基本模型，从而顺利解决问题。

四、复习策略

根据复习目标、内容，结合学生实际，精心设计问题串与操作活动，引导学生思考，梳理知识；通过基本模型、模型变式、经典例题、变式提升、课堂小结等活动，提炼方法，积累活动经验，体会反比例函数基本图形面积不变性，掌握构造法、坐标法，学会从形与数两个角度思考问题，感悟数学思想。

五、教学准备

学生：三角尺、导学案

教师：PPT课件、几何画板、微课视频

六、教学过程

（一）梳理知识

活动一：从特殊到一般，重构K的几何意义

引例：点P是反比例函数yk图象上一点，PA⊥x轴，PB⊥y轴，

x（1）当S矩形OAPB4时，K＝

．

（2）通过（1）的解决，请填空：S矩形OAPB

（用含K的代数式表式）

问题1：请你根据题意，画出示意图（注意分类讨论哦）？

yPPyBBO图 1AxA图 1Ox

2

问题2：围成的矩形的面积与点P的坐标有何关系？

分析：设点P坐标为（x,y），则PB=|x|，PA=|y|，

∴S矩形OAPBPAPB|x||y||xy|

问题3：反比例函数的比例系数K如何确定？

分析：从函数表达式上看，反比例函数比例系数kxy；

从函数图象上看，S矩形OAPB|xy||k|4，∴k＝±4 ［设计意图］ 本题从特殊到一般地复习反比例函数K的几何意义，学生通过动手画图、主动思考，重构反比例函数图象与性质等相关知识，同时，训练学生的画图能力，渗透分类讨论思想。从特殊到一般，师生共同归纳，加深学生对K的几何意义的理解，和对基本模型的认识。

活动二：呈现基本模型、模型应用

结论：过双曲线yk上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形OAPB的面积为|k|．

xyPBO图 1Ax

知识总结：

1．从函数表达式上看，反比例函数比例系数K的代数意义：kxy

2．常用辅助线：过双曲线上的点作两坐标轴的垂线，构造的矩形面积为|k|．

（反比例函数基本图形面积的不变性）

练习1：如图①，点A在双曲线y

13上，点B在双曲线y上，AB∥x轴，C、D在xxx轴上，若四边形ABCD为矩形，则S矩形ABCD

．

yAByExOABOD图 ①CDCx图 ①-1

3

问题1：对于“点A在双曲线y1上”这个条件，你有什么想法？

x分析：点A是双曲线上任意一点，学生可能会想到特殊点，采用特殊值法。

问题2：若设点A的横坐标为m，则点A、B如何表示？线段AB、BC如何表示？矩形ABCD的面积如何表示？

分析：则A(m，)、B(3m，)∴AB3mm2m,BC∴S矩形ABCD1m1ABBC2m2

m1m1

m问题3：若延长BA，交y轴于点E，构造出的矩形与K有何关系？

分析：S矩形ADOE1，S矩形BCOE3，∴S矩形ABCDS矩形OEBCS矩形OEAD2

解题策略：1、涉及的点是任意点，可用特殊值法2、坐标法3、构造法

［设计意图］ 在教师问题串的引导下，以题代讲，引导学生从数和形两个角度理解反比例函数K的几何意义，感受反比例函数基本图形面积的不变性，并由此归纳反比例函数有关面积问题常用的辅助线，提高学生解题能力，渗透数形结合思想。

（二）模型变式，变化中的不变量

模型变式1：S阴影k

结合几何画板动态演示：

操作1：如图1，PA边不变，让OB在y轴上移动。

问题：如图1-1，在OB的移动过程中，PACB的面积是否为定值？为什么？

PACB的面积为定值，S阴影|k|

分析：由于平行线间的距离处处相等，PA不变，因此，操作1-1：如图1，PB边不变，让OA在x轴上移动。

问题：如图1-2，在OA的移动过程中，yBPCOA图 1-1xPACB的面积是否为定值？为什么？

yPBO AC图 1-2x

知识总结：通过等积变形，把矩形转化为平行四边形，面积均为|k

| 练习2：如图②，点A在双曲线y

12上，点B在双曲线y上，AB∥x轴，C、D在xxx4

轴上，若四边形ABCD为平行四边形，ABCD面积为

．

yBCOD图②AyBAOD图②-1ByAOD图②-2x

CxCx

问题1：通过刚才的操作活动，对于本题的解决，你有什么想法？

分析：学生可能会想到把平行四边形分割出两个平行四边形。

问题2：点A在双曲线y1上，你能过点A构造出相应的平行四边形吗？

xBEFC面积为2，AEFD面积为1，∴分析：设AB交y轴于点E，过点E作EF∥BC，则ABCD面积为3。

问题3：结合K的几何意义及基本模型，你还可以怎样构造图形？

分析：设AB交y轴于点E，过点A作AF⊥x轴，过点B作BG⊥y轴，则矩形AEOG面积为1，矩形BEOF面积为2，∴矩形ABGF面积为3，∴问题4：点A在双曲线y如何表示？ABCD面积为3。

1上，若设点A的横坐标为m，则点A、B如何表示？线段ABx1mABCD的面积如何表示？

分析：则A(m，)、B(2m，)∴ABm(2m)3m∴S矩形ABCD3m1m13

m

解题策略：1、分割为两个平行四边形2、改斜归正，转化为矩形3、坐标法

［设计意图］ 从几何画板演示到辅助线的添加，学生经历观察、抽象、推理、计算的过程，在逐渐抽象的过程中紧扣反比例函数面积的不变性，体会变化中的不变量，体会数学模型是联系数学与实际问题的桥梁，培养学生的模型意识，培养学生敏锐的洞察力、持久的创造力。

模型变式2：

S阴影|k|

2结合几何画板动态演示：

操作2：如图2，连接OP，把矩形OAPB分割成两个三角形。

问题1：△OAP、△OBP的面积分别是多少？你是如何求的？与同伴交流并大胆分享。

分析：1、从图形上看，三角形面积是矩形面积的一半；（从形的角度）

2、设点P坐标可得三角形面积等于|k|（从数的角度）

2

5

yPyPBOAx图 2Ox

操作2-1：如图2-1，PA边不变，让点O在y轴上移动。

问题：在运动过程中，△PAC的面积是否为定值？为什么？

操作2-2：如图2-2，PB边不变，让点O在x轴上移动。

问题：在运动过程中，△PBC的面积是否为定值？为什么？

yCPyPBOA图 2-1xO

C图

2-2x

知识总结：通过等积变形，发现三角形面积的不变性。

练习3：如图③，点A在双曲线y

13上，点B在双曲线y上，AB∥x轴，C在x轴上，xxSABC

．

yAByABCO图③xCO图③-1x

问题：根据刚才的操作活动经验，请类比练习1、2的解决过程解决本题。

预设生成：

1、坐标法：设A(m，)则B(3m，)∴AB3mm2m∴SABC2、构造法：向坐标轴作垂线，构造三角形。

3、特殊值法。

练习4：如图④，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y1m1m112m1

2m3(x0)上的一个x

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动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（

）

A．逐渐增大

B．不变

C．逐渐减小

D．先增大后减小

yBO图④yPBPAx

OA图④-1x

问题1：在点P运动过程中，哪些点是定点，哪些点是动点？

学生：在点P运动过程中，点O、A是定点，点B、P是动点。

问题2：点P在双曲线y3(x0)上，如何过点P构造出基本图形？

x学生：连接OP,则△OBP为基本图形。

问题3：在点P运动过程中，△OBP的面积与△OAP的面积有变化吗？怎样变化？。

学生：△OBP的面积不变，△OAP的面积改变，逐渐变小。

问题4：在点P运动过程中，四边形OAPB的面积如何变化？

学生：四边形OAPB的面积逐渐变小。

［设计意图］ 通过几何画板的演示，对基本模型进行变式，让学生直观感受等积变形，感受反比例函数基本图形面积的不变性；通过模型应用，提高学生对图形的敏感性，发现并快速构造基本模型使问题得以解决，渗透从特殊到一般、转化的数学思想方法，为辅助线的添加提供思路。

模型变式3：S阴影k

结合几何画板动态演示：

操作3：

（1）如图2-3，取点A关于原点的对称点A´，则SPAA

．

（2）如图2-4，取点B关于原点的对称点B´，则SPBB

．

（3）如图2-5，取点P关于原点的对称点P´，则SPAP

．

（4）如图2-6，取点P关于原点的对称点P´，则SPBP

．

7

yyyBPOA'O图 2-3AxB'图 2-4图 2-5xP'P'POAxPyBPOx图 2-6

模型变式4：S阴影2|k|

结合几何画板动态演示：

操作4：

（1）如图2-7，取点A关于原点的对称点A´，取点P关于原点的对称点P´，则S平行四边形PAPB

．

（2）如图2-8，作PD⊥x轴、PD⊥y轴，两垂线交于点D，则SPDP

．

yPA'OP'图 2-7AxP'图 2-8OACxyP

［设计意图］ 1、本环节的设计，通过对称变换，揭示反比例函数基本图形的等积变形，让学生直观感受，发展几何直观。2、最特殊的情况往往蕴含着最本质的规律和方法，让学生从图形变换中寻找不变量。3、从形的角度，探究阴影部分面积与K关系的三种类型，加深学生对比例系数K的几何意义的理解。

（三）经典例题、品味经典

如图⑤，点A、B分别在反比例函数yOB若OB＝2OA，则K＝

．

2k(x0)，y(x0)图象上，OA⊥xx

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ByByAAO图 ⑤xDO图 ⑤-1Cx

问题1：对于“点A在双曲线y2(x0)上”这个条件，你有什么想法？

x分析：过点A作x轴的垂线，构造的Rt△AOC面积为1。

问题2：“点B在双曲线yk(x0)上”，我们该如何思考？

x|k|。

2分析：过点B作x轴的垂线，构造的Rt△BOD面积为问题3：所构造的两个直角三角形有何关系？与同伴交流。

分析：由OA⊥OB，联想到三垂直模型，利用三角形相似可得面积关系：相似三角形面积比等于相似比的平方。

问题4：“点A在双曲线y2(x0)上”，若设点A的横坐标为m，

x（1）点A如何表示？线段OC、AC如何表示？

分析：可得A(m，)（m＞0），OC＝m，AC＝2m2

m（2）线段BD、OD如何表示？点B如何表示？

分析：利用三角形相似可得：BD＝2m，OD＝（3）如何求K值？

分析：k44，结合点B的象限，得：B(，m)

mm4m4

m

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解题策略：利用面积关系的不变性解题

解题方法：

1、构造法：构造三垂直模型探究面积的不变关系：

2、坐标法（设元消参、算证结合）——函数题型的常用方法

割补法：向坐标轴作垂线，构造矩形、直角三角形或梯形.

［设计意图］ 在学习几何知识时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化，

由常规辅助线用法及对直角的思考，学生不难发现三垂直模型，利用相似三角形的面积关系或线段关系解题，在解题过程中，感受构造法与坐标法，通过解法多样化，培养了学生的空间观念和思维，发展学生的推理能力，渗透转化、数形结合等思想。

（四）变式提升、形成能力

例1变式：如图⑥，等边△ABC的顶点A、B分别在反比例函数yO，且顶点C在双曲线y2图象上，AB经过原点xk上，则K＝

．

xyyCAACOB图 ⑥xEBODx图 ⑥-1

问题1：观察图形，与例1图形有何相同之处？不同之处？

分析：相同之处为点A、C在不同的双曲线上，不同之处为少了垂直和OB＝2OA这两个条件，多了等边三角形这个条件。

问题2：对于“等边三角形”这个条件，你有什么想法？

分析：连接OC，根据三线合一可得：OC⊥OA；根据等边三角形高与边长关系可得：问题3：请你类比例1，写出解题过程。

［设计意图］ 变式的设计是例题的延续，通过图形变式、条件的置换，让学生在解题过程

10 OA3。

OC3

中理解基本图形面积关系的不变性及构造法、坐标法在解题中的作用，感受反比例函数中的基本图形面积不变性在解决复杂图形的面积问题中的作用，辅助线的添加、图形的转化是学生的难点，难点的突破使学生的基本技能和解题能力得以提升。

（五）课堂小结

理论依据是根本，基本模型记清楚，解题关键要抓紧，解题策略常归纳，思想方法多感悟。

问题清单：

（1）今天学习了什么数学模型？它的本质特征是什么？

（2）本节课你学会了哪些添加辅助线的方法？

（3）在本节课的探索过程中，你学会哪些解题的方法？你的思路是什么？

（4）你在学习过程中有哪些新的体验？感受到了哪些数学思想方法？

（5）你还有哪些困惑？请在解决问题中总结出来，并与同伴交流提升。

七、作业布置

作业1（必做题）：如图，已知双曲线yk(k0)的一支经过Rt△OAB斜边OB的中点D，x与直角边AB相交于点C，OA在x轴上，DE⊥x轴于点E，若△OBC的面积为3，则k

．

作业2（选做题）：如图，已知矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线yk(k0)的一x支与矩形两边AB、BC分别交于点D、E，若将△BDE沿直线DE对折，B点落在x轴上的点F处，作DG⊥OC，垂足为G，求K的值。

yDBCyADBEO八、检测反馈

E图4-5AxOG图8FCx

（1）如图，点A在双曲线y25上，点B在双曲线y上，且AB∥y轴，C、D在y轴上，xx若四边形为平行四边形，则它的面积为

．

（2）如图，点A、B分别在反比例函数y若OA＝OB，则K＝

．

2k(x0)，y(x0)图象上，OA⊥OBxx

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yCDAOBByAxO图5x

（3）如图，等腰△ABC的顶点A、B分别在反比例函数y顶点C在双曲线y2图象上，AB经过原点O，且xk上，若∠CAB＝30°，则K＝

．

x（4）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y若平行四边形AOBC的面积为18，则K＝

．

（5）如图，点A(a，b)在双曲线yk(k0)经过A、E两点，x8(x0)上，AD⊥x轴，AE⊥y轴，交双曲线xyk(x0)于点B、C，AC＝3CD．

x（1）求K的值；

（2）在点A运动过程中，设△ABC面积为S，则S是否变化，若不变，请求出S的值；若变化，请写出S关于a的函数关系式。

yCOBOAyADBCyEBACxxODx作业2图7［设计意图］ 讲练结合，通过题组训练，掌握基本模型，思考解题策略，提高解题能力，

培养数学思考能力，培养解决问题的能力，渗透从特殊到一般、转化、数形结合、分类讨论思想，发散思维，加大知识的整合，形成能力，培养数学素养。

九、板书设计

十、教学反思

（一）成功之处

本节课给学生创造了自主探究、合作交流的平台，开发了学生的智力，挖掘了学生的潜能；让学生在现实情境中体验和理解数学，激发学生学习数学的兴趣。在活动中自主探究以及与同伴交流,有条理地进行思考和表达思考的过程，获得分析问题的经验和解决问题的能

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力。老师充分做好活动的策划者、引导者的角色.活动中师生互动、生生互动，形成了一个立体信息交流网络。重视数学知识的生活化、应用化。

通过对本节学习，学生对反比例函数面积的不变性有了进一步的认识，利用呈现基本模型、模型变式（体会变化中的不变量）、典例分析（一题多解、多解归一；一题多变、拓展思路，提高解题能力）、变式训练、回顾总结、作业布置等几个环节，把实际问题通过反比例函数模型转化为数学问题加以解决，体现了转化、特殊到一般、一般到特殊、数形结合、分类讨论等数学思想。

（二）不足之处

对教材的处理和教学过程中学生的学法一定注意灵活选取，让不同层次的学生要采用不同的方法，获得不同的数学体验和不同的收获。学生对说理过程的书写不够条理与规范，教师在课下应加强训练指导。

（三）再教设计

从学生的实际出发，引导他们学知识、用知识，给学生提供一个展示所学的舞台。培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，激发学生持续学习的动力。

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