2.1.2 曲线的参数方程教学设计与反思

2.1.2《曲线的参数方程》教学设计

一、教学目标

知识与技能：通过平抛运动公式能归纳出参数方程的概念。会选用适当的参数建立参数方程，并进行简单应用。

过程与方法：通过参数方程与普通方程的互花，体会化归转化的思想。参数方程的优点的发现，培养学生探索、发现能力以及解决实际问题的能力。

情感、态度与价值观：通过观察、探索和创造性过程，培养创新意识。

二、教学重点与难点

教学重点：参数方程的概念及应用。

教学难点：根据几何性质选取适当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：问题探究法

四、教学过程

探究：

如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？

问题1：物资投出机舱后，它的运动由哪两种运动合成？

（1）在水平方向上做

运动，其水平位移

。

（2）在竖直方向上做

运动,其竖直下落高度

。

问题2：在上述运动中水平位移S和竖直下落高度H中是否有一个相同的变量，是什么？

问题3：你能否建立适当的坐标系用含有时间t的式子表示

出物资的位置？

1.参数方程的定义

在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数

t

的函数

xf(t)

（t为参数）①，并且对yg(t)于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)

，那么方程组①就叫做这条曲线

，联系变数x,y的变数t叫做

参变数，简称

。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标（x,y）间关系的方程叫

. 2.关于参数方程的几点说明

①是在直角坐标系下定义的. ②要注明参数或参数的范围. ③参数值和曲线上的点是相对应的. ④参数可以有物理意义也可以有几何意义，也可以无任何实际意义. ⑤参数方程的优点——变量归一

.具体体现是设点

x＝3t，例1

已知曲线C的参数方程是(t为参数). 试判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；

2y＝2t＋1

点评：理解参数和曲线上的点是相对应的这种关系。

例2

将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.

x＝5cos θ，x＝t＋1，(1)(t为参数)

(2)(θ为参数) y＝4sin θ－1y＝1－2t消去参数方程中参数的技巧

(1)代入法

(2) 消元法：. (3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式

sinθ＋cosθ＝1消去参数θ. 点评:在参数方程与普通方程的互化中，要注意必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.

2

例3：

x

2

y

(2)设y=2t，t为参数.求椭圆1的参数方程。(1)设x=3cos，为参数；

94

点评：参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.

22

x＝cos θ，例4.已知圆C的参数方程为(θ为参数)，求圆C上的点P到直线l：

3x＋y－5＝0 距离的

y＝sin θ＋1最小值。（用两种方法完成）

方法1

解：圆C方程为x2(y1)21

圆心（0,1）;半径r=1

圆心（0,1）到直线l：3x＋y－5＝0的距离为d＝2 圆C上的点到直线l 的最小距离为d- r =1

方法2

解：由已知得设点P坐标为（cosθ，sinθ+1）

则P到直线l：3x＋y－5＝0的距离为

d＝|3cos θ＋sin θ－4||2sinθ＋π3－4|2＝2

当sin(θ＋ππ3)＝1，即θ＝6时

dmin＝1，

点评：方法2比方法1的优点不仅可以求距离的最小值还能求取最小值时点的坐标。

方法2体现了参数方程的优点——变量归一。该优点在题中的具体体现是设点。

巩固练习

1.下列方程：①x＝m，

x＝m，

x＝y＝m(m为参数)；②y＝n(m，n为参数)；③1，y＝2；的个数为

（

）

A 1

B

2

C 3

D

4

2、曲线



x



1



t2

,(

t

为参数）

与x轴的交点坐标是(

)

y4t3A、（1，4）；B、

(2525

,0);

C、

(1,



3);

D、(



1616,0);3、曲线y=x2的一种参数方程是（

）.

A、xt2xsintxtxt4 B、

ytysin2t C、 D、ytyt2

x＝2＋sin2θ，4.将参数方程

y＝sin2θ

(θ为参数)化成普通方程为（

）

A.y＝x－2

B.y＝x＋2 C.y＝x－2(2≤x≤3)

D.y＝x＋2(0≤y≤1)

④x＋y＝0中，参数方程

小结：

1.参数方程的概念

2.关于参数方程的几点说明

①是在直角坐标系下定义的. ②要注明参数或参数的范围. ③参数值和曲线上的点是相对应的. ④参数可以有物理意义也可以有几何意义，也可以无任何实际意义. ⑤参数方程的优点——变量归一

.具体体现是设点

3.参数方程与普通方程互化

引入参数

普通方程

消去参数

作业：

练习册:

P25

能力提升

1.

2.

3.

4

参数方程

板书：

2.1.2曲线的参数方程

1参数方程的概念

在平面直角坐标系中，

方程组

xf(t)

（t为参数）

叫曲线的参数方程。

yg(t)2.关于参数方程的几点说明

①是在直角坐标系下定义的. ②要注明参数或参数的范围. ③参数值和曲线上的点是相对应的. ④参数可以有物理意义也可以有几何意义，也可以无任何实际意义. ⑤参数方程的优点——变量归一

.具体体现是设点

3.参数方程与普通方程互化

引入参数

普通方程

消去参数

消参常用方法：

代入、消元、利用sinθ＋cosθ＝1

22参数方程