1.3 曲线的极坐标方程教学设计实例

基础达标

1.已知点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为(

) π3π5π7πA.2，

B.2，

C.2，

D.2，

4444答案：B 解析：直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.

2.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1(－5，109°)，P2(4，49°)，则这个三角形P1OP2的面积为(

) 5A.53

B.103

C.2

3

D.10 答案：A 1解析：点P1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P1OP2＝120°，S△P1OP2＝2×4×5sin 120°＝53.

22，3.在极坐标系中，已知点P3π则下列点中与点P重合的是(

) 45πA.2，，2，3π，－2，3π

3845B.2，3π，2，3π，－2，3π

454C.－2，3π，－2，3π，2，－3π

πD.－2，－

3答案：D 解析：利用极角的意义设点A(P，θ)与A′(－ρ，θ)关于极点对称解题. π4.已知极坐标系中，极点为O，0≤θ<2π，M3，，在直线OM上与点M3的距离为4的点的极坐标为________. π4π答案：7，或1，

33

，若P的极角满足－π<θ<π，ρ∈R，

解析：如下图所示，

π|OM|＝3，∠xOM＝3，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.

π4π点P，Q都满足条件，且∠xOP＝3，∠xOQ＝3.

π5.在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝3(ρ∈R)距离的最大值是________. 答案：6 解析：将极坐标方程化为直角坐标方程求解.圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为πx＋y－8y＝0，即x＋(y－4)＝16，直线θ＝3(ρ∈R)化为直角坐标方程为y2222＝3x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径.圆心(0，4)到直线y＝3x的距离为＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6. ππ6.在极坐标系中，已知三点P4，，Q42，－，R(6，2π). 64(1)将P、Q、R三点的极坐标化为直角坐标；

(2)求△PQR的面积. 解：(1)P(23，2)，Q(4，－4)，R(6，0). 6（x－4）(2)直线PQ的方程为y＋4＝，

23－443＋4与x轴的交点坐标为，0，S△PQR＝14－43. 3

4（3）＋122＝2，又圆的半径r

综合提高

2π22π，7.在极坐标系中，点A，，B则线段AB中点的极坐标为(

) 62，325π25π2π15πA.，

B.1，

C.，

D.，

1212321222答案：A π2π22π解析：由点A，，B，知，∠AOB＝2，于是△AOB为等腰直角63222三角形，所以|AB|＝2×2＝1，

设线段AB的中点为C，

5π1则|OC|＝2，极径OC与极轴所成的角为12，

15π所以线段AB中点C的极坐标为，. 2128.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(

) A.ρ＝π1，0≤θ≤2

cos θ＋sin θπ1B.ρ＝，0≤θ≤4

cos θ＋sin θπC.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤2

πD.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤4

答案：A 解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程即可.A中，由ρ＝1，cos θ＋sin θ得ρcos θ＋ρsin θ＝1，∴x＋y＝1，∴y＝1－x(0≤x≤1).B中，由ρ＝12，得y＝1－x0≤x≤.

2cos θ＋sin θC中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x2＋y2＝x＋2y(0≤x≤1).D中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得x2＋y2＝x＋y0≤x≤. 2

π9.在极坐标系中，点2，到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________. 3答案：1 x＝ρcos θ，π解析：借助极坐标与直角坐标互化求解.由知极坐标2，可3y＝ρsin θ化为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6可化为x＋3y－6＝0.故所求距离为d＝|1＋3×3－6|12＋（3）22＝2＝1. π10.已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－＝2，点A的极坐标为47πA22，，则点A到直线l的距离为________. 452答案：2

解析：根据极坐标方程与普通方程的互化及点到直线的距离公式求解.

π22由2ρsinθ－＝2，得2ρsin θ－cos θ＝2，∴y－x＝1.由点A的4227π极坐标为22，得点A的直角坐标为(2，－2)，

4|2＋2＋1|52∴d＝＝2.

211.在极坐标系中，

7π43π两点间的距离；

(1)求A5，，B12，3636(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足条件的点P的轨迹. 7π解：(1)A，B在过极点且与极轴成36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB|＝5＋12＝17. (2)由于点P的极径恒为ρ＝1，且θ∈R，

因此，点P在以1为半径，极点为圆心的圆上.

π5π5π，12.已知△ABC三个顶点的极坐标分别为A2，，B2，，C3，263极点O(0，0). (1)判断△OAB的形状；

(2)求△ABC的面积. 33解：所给各点的直角坐标分别为A(0，2)，B(－3，1)，C，－，O(0，220). (1)∵|AB|＝（－3－0）2＋（1－2）2＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴△OAB为等边三角形. (2)∵|AC|＝3232－0＋－2－2＝13，|BC|＝23232＋3＋－2－12＝13，|AB|＝2，

∴△ABC为等腰三角形. 33∵AB的中点为D－，，

22|CD|＝332－332＋＋－＝23，

222211∴S△ABC＝2|AB||CD|＝2×2×23＝23(面积单位).