2.2.1 直线的参数方程教案和课堂实录

教材章节：§2.2.1

课题：直线的参数方程

教学目标：

1．知识与能力：

了解直线参数方程的条件及参数的意义．

2．过程与方法：

能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的几何意义．

3．情态与价值：

通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识．

重

点：直线的参数方程及对应参数的几何意义．

难

点：选择适当的参数写出曲线的参数方程．

教学方法: 讲练结合

变式探究

教学过程：

一、复习回顾

前面我们学习过的直线的普通方程都有哪些形式? b点斜式

yy0k(xx0)

斜截式

ykx

两点式

xyyy1xx1

截距式

1

aby2y1x2x122一般式

AxByC0(AB0)

上述5种方程核心在于点斜式和两点式，现在我们研究这两种方程所对应的参数方程

二、直线参数方程

1．有向线段的数量：

P,M是直线l上的两点，若P到M的方向与直线向上的方向一致，

则PM取正值，否则取负值．这个数值称为有向线段PM的数量.

2．经过点P(x0,y0),倾斜角为(2)的直线l的参数方程．

设PM=t

xx0tcos

(t为参数)yytsin0xx0tcos（1）本例得到的方程是直线参数方程的标准形式，其中M0(x0,y0)是直线上的yytsin0定点，为倾角（是定值）；

（2）参数t的几何意义：参数t是直线上一个定点M0到任意点Ｍ的有向线段的数量．当t＝０时，Ｍ点与M0点重合，即M0M0；

当t＞０时，Ｍ点在M0点上方或右方，即M0M0；

当t＜０时，Ｍ点在M0点下方或左方，M0M0．

t表示Ｍ点与M0点两点间的距离．

(3)由M0Mte,你能得到直线l的参数方程中参数t的几何意义吗？1

M0Mte

M0Mte又e是单位向量，e1

M0Mtet

所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.

3．经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)(x1x2)的直线的参数方程

QAM与MNP相似，QAAMQM

==MNNPMPxx1yy1QM即=x2xy2yMPxx1yy1QM设

=

=x2xy2yMPx则yx1x21（为参数，-1）

y1y210

三、典例分析

例1. 已知直线l过点P(1,2)，且它的倾斜角135

（1）写出直线l的参数方程；

（2）求直线l与直线yx的交点坐标.

解：（1）由题知直线l的参数方程为

20x1tcos1351t2(t为参数)

y2tsin135022t22x1t2代入yx得到t2，

（2）把2y22t22tx1332代入得到两条直线的交点为

(,)

22y22t2设计意图：熟悉过定点和已知倾斜角的直线的参数方程并能够通过参数值得到交点坐标。处理方式：教师板演

练习：已知两点A(3,4),B(5,3)和直线l:3x5y40.求过A,B的直线参数方程，并求出它与直线l的交点坐标. 解：设直线AB上的动点p(x,y)，设=

AP则直线AB的参数方程为

PB

2

3-5x1则（为参数）

将其代入l:3x5y40得

43y13317783=-再代入参数方程得交点坐标为（-，）

42929设计意图：熟悉过两点的直线的参数方程

例2. 已知直线l过定点P(1,1)倾斜角为，若直线l与圆x2y24交于A,B两点，求点P到6A,B两点的距离之积.

设计意图：明确参数的几何意义

3x1t2(t为参数)

解：直线l的参数方程为

y11t2因为A,B都在直线上，设他们所对应的参数为t1,t2，将直线l代入圆x2y24

整理得t2(31)t20从而

t1t22，所以PAPB2

变式1 已知直线l:xy10与抛物线yx交于A,B两点，

求点P(1,2)到A,B两点的距离之积和线段AB的长

设计意图：首先判断点与直线的位置关系，通过参数的几何意义求解被曲线所截的弦长问题. 解：因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上. 易知直线的倾斜角为23

43x=-1+tcos4(t为参数）所以直线的参数方程可以写成

3y2tsin42x1t2(t为参数）把它代入抛物线y=x2的方程,得

即y22t2210210

t22t20解得t1，t222由参数t的几何意义得ABt1t210

MAMBt1t2t1t22

探究：直线与曲线yf(x)交于A,B两点，对应的参数分别为t1,t2

t1t2

tt

（2）线段AB的中点M用t1,t2如何表示？

12

2x1t变式2.

已知直线l的参数方程为(t为参数)与抛物线yx2交于A,B两点，求线段y2t(1)曲线弦长AB用t1,t2如何表示？

AB的长和AB中点M的坐标

bxx0at分析：经过定点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程是：．

（t为参数）ayy0bt

3

当ab1时，参数不具有标准形式中t的几何意义，此时需将方程化成标准形式．

22axxt022ab令ta2b2t

则方程可化为：（＊）

byyt022ab此时t

a2b2t具备标准参数方程中参数的几何意义.

1/t22代入yx2得t-2t20

1/t2t1t22

22x1解：令t2t则原方程可化为y2由参数t的几何意义得ABt1t210，

13AB中点M的坐标（-，）

22x2y21于A,B两点．

例3．经过点P(2,1)作直线l，交椭圆164如果点Ｐ恰好是线段AB的中点，求直线l的方程；

x2tcos解：设所求方程为：(t为参数），

y1tsin222代入椭圆方程得：

(4sincos)t4(2sincos)t80．

若Ｐ是弦的中点，则t1t20，即

4(2sincos)10tan．

4sin2cos221l的方程为：y1(x2)，即x2y40．

2思考：（1）上述解法对于一般的圆锥曲线是否都适用？

（2）把题目中的“中点”改成其它的等分点是否适用？

（２）如果点Ｐ是线段AB的一个三等分点，求直线l的方程．

（２）若Ｐ是一个三等分点，t12t2（Ｐ点在椭圆内部）即

2t1t2t2t1t22t2t1t22(t1t2)2，即

84(2sincos)22[]即：

4sin2cos24sin2cos24712tan216tan30tan．

6所求直线方程为：(47)x6y2(77)0或

(47)x6y2(77)0．

四、当堂训练

x3tsin2001. 直线(t为参数)的倾斜角为

（

C ）

0ytcos200000A20

B 70

C 110

D 160

2.

已知直线l经过点P1,33,倾斜角为.

3（1）写出直线l的参数方程；

4

（2）利用参数方程，求直线l和直线l:xy230的交点Q到P点的距离PQ.

（3）求直线l和圆x2y216的两个交点A，B到P点的距离之积．

1x1t2解：（１）直线l的参数方程为：(t为参数)；

3y33t2（２）将l的参数方程代入l的方程得：t423.由t的几何意义得

tPQ423；

（３）将l的参数方程代入圆的方程得：t8t120．设t1,t2为该方程的两个根，由韦达定理得：t1t212.由几何意义知：

t1PA,t2PBPAPBt1t2t1t212．

2x62t723过点P0(6,)的直线与抛物线y2x相交于A，B两点，求P0到A，B两点的距离72yt2之和．

解：设P0(x0,y0)，则x06,y07249,y122x0.故P0在抛物线的开口外部．令204t12212x6y72t1t,则得直线参数方程的标准形式

52t552，代入抛物线方程得:t35t0,(400)．

41t522t3535．

故点P0到A,B两点的距离之和为tAtBAtB思考：给定双曲线C:2xy20及两点M(2,1)，N(1,1)．

（１）求以M为其中点的弦A1B1所在直线l1的方程；

1

（２）求以M为其分点的弦A2B2所在直线l2的方程；

3

（３）是否存在以N为中点的曲线C的弦?

（４）过M作直线l交C于两点P1,P2,求线段P1P2的中点的轨迹方程．

x2tcos解：（１）设过M(2,1)的直线的参数方程是：(t为参数) y1tsin22代入2xy20,整理得

2cos2sin2t28cos2sint50

①

∵M为弦A1B1的中点，故t1t20,即

故直线l1的方程为：y14x2．

2sin8cos0,tan4.

222cossin1（２）∵M是弦A2B2的分点，故t12t2,

3于是t1t2t2,t1t22t1t22

②

2

对①利用韦达定理，并考虑到②，有

5n8cos2si

2,整理得

2co2s2co2ssi2nsi2n

5

22

3sin64sincos138cos0,依题意,cos0,故上式可化为

3tan64tan1380.解之,tan

y1232610.故A2B2的方程为：

332610x2.

3sx1tco(3)设过N(1,1)的直线的参数方程为代入2x2y220,整理得ny1tsi2cos2sin2t24cos2sint10

③

2sin4cos0tan2

要使N为弦的中点,必须t1t20,即2cos2sin2但此时③的判别式：

4cos2sin242cos2sin28cos232tan0，

可见,以N为其中点的曲线c的弦不存在．

(4 )设Px,y为直线l与双曲线C相交所得之弦P1P2的中点，则对①应用韦达定理,得对应于P的参数

sin4cosx2cos1sin4cos2cos2sin2tt1t2tan22

22sin4cos22cossiny1sin2cos2sin2y1sincos4cos2tan4tan,代入x2,

故x22cos2sin22tan2

化简得：2x2y24xy0.此即所求的轨迹方程．

五．小结

1. 直线参数方程的标准形式：xx0tcos(t为参数）

yy0tsinM0(x0,y0),为直线l的倾斜角．

2．直线参数方程中参数t的几何意义：t表示由定点M0到直线上任意一点的有向线段的数量．t表示Ｍ点与M0点两点间的距离．

当t＝０时，Ｍ点与M0点重合，即M0M0；

当t＞０时，Ｍ点在M0点上方或右方，即M0M0；

当t＜０时，Ｍ点在M0点下方或左方，M0M0．

3. 被曲线截得的弦长t1t2和中点的表达t1t2

24. 非标准形式转化为标准形式

5. 思想方法：化归转化

数形结合

函数方程思想

六

作业

1．课本P38

A组2-5

B组

2 2．学案上的延伸题

6