解决问题第二课时教学实录

《圆的面积——解决问题》教学设计

教学内容：人教版义务教育教科书小学数学六年级上册第69-70页

教学目标：

1、理解圆与外切正方形、内接正方形之间的面积关系，并能根据面积关系解决问题；

2、经历观察、操作、合作交流的学习过程，理解知识间的联系，培养类推能力与几何直观，提高解决问题的能力；

3、培养学生合作学习的意识及能力，体会数学与生活的紧密联系，提高数学素养。

教学重、难点：理解圆与外切正方形及内接正方形之间的面积关系。

教学准备：课件、学习单；学生准备尺和圆规

教学过程：

一、情境导入：

1、师：老师在一个古典建筑上见到了一个很有意思的窗户，

你们想看看吗？（课件出示）这个窗户是由哪些图形组成的？

（课件出示）它有什么特点？

2、师：在大正方形中能画出更大的圆吗？这个圆当中能找到更大的小正方形吗？请同学们想一想，画一画！

生操作后汇报。

3、师：看到这个图案，你们想了解哪些数学知识？

二、探究图形之间的面积关系：

1、师：请同学们用合适的方法来找找这个图案的中心，并说说你发现了什么。

学生操作后汇报。

2、师：要探讨这三个图形之间的面积关系有什么比较方便的方法吗？（可以把这个图案拆成大正方形和圆以及圆和小正方形来研究）

师：把较复杂的图形分解为较简单的图形来解决问题，这是数学学习中常用到的方法！（板书：化繁为简）（课件出示分解后的图形）

图（1） 图（2）

3、师：像图（1）这样大正方形里有一个最大的圆，我们称为“外方内圆”，这个大正方形称为圆的外切正方形；像图（2）这样圆内有一个最大的小正方形，我们把这个图

案称为“外圆内方”，这个小正方形称为圆的内接正方形。

4、师：如果圆的半径是1厘米，那么图（1）中外切正方形的边长和圆有什么关系，它的面积怎样计算？

板书：圆 的 面 积：3.14×12＝3.14（平方厘米）

外切正方形的面积：2×2＝4（平方厘米）

师：能直接观察出图（2）中正方形的边长是多少吗？可以用什么方法来计算正方形的面积？请同桌之间讨论之后独立解决。

预设1：内接正方形的一条对角线将正方形分成两个同样的三角形，它的底是圆的直径，高就是圆的半径，正方形的面积可以用三角形的面积来乘2来计算。

（课件演示）

板书：内接正方形的面积：（1×2×1）×2＝2（平方厘米）

2预设2：这个正方形的两条对角线把正方形分成四个同样的小三角形，每个小三角形的底和高都是圆的半径，再用小三角形的面积乘4计算。（课件演示）

1板书：内接正方形的面积：（×1×1）×4＝2（平方厘米）

2

5、师：经过刚才的计算，你们有什么发现吗？

预设1：外切正方形与圆的面积的比可能是4比3.14，圆与内接正方形的面积比可能是3.14比2，然后再化简就是200比157和157比100。

预设2：外切正方形与圆的面积的比是4比π，圆与内接正方形的面积的比是π比2。

师：一组数据能得到有力的证明吗？你们打算怎样来进行研究？

师：让我们用数据来说话！（课件出示学习单及学习要求）

圆的半径

圆的面积

外切正方形的面积

内接正方形的面积

（ ）cm

（ ）cm

（ ）cm

我发现：外切正方形的面积：圆的面积＝ 圆的面积：内接正方形的面积＝

1、以小组为单位举例计算这些图形的面积；

2、小组讨论：它们的面积之间有什么关系？

3、如果圆的半径定为r，看看是否也能得出相同的结论。

小组活动，教师巡视指导。

6、各小组汇报研究的成果。

板书：外切正方形的面积：圆的面积＝4：π

圆的面积：内接正方形的面积＝π：2 师：既然圆的大小相同，那么这三个图形之间的面积关系可以怎样表示？

板书：外切正方形的面积：圆的面积：内接正方形的面积＝4：π：2

师：这三个图形之间为什么有这么奇妙的关系呢？（随教师的讲解出示课件）

O

r 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）

师：图（1）圆的面积怎样表示？（πr2）图（2）中每个小正方形的边长与圆有什么关系？每个小正方形的面积怎样表示？（r2）外切正方形的面积也就是多少？（4r2）图（3）中能看出两个正方形之间的关系吗？（课件演示小正方形旋转45度得到图4），现在能看出来两个正方形之间的面积关系吗？

师：所以三个图形面积之间的关系是……？

三、运用面积关系解决问题：

1、（课件出示中国古典建筑“外方内圆”和“外圆内方”的窗户）

师：这两个图案是中国古代建筑中两种经典的窗户设计，将圆和正方形完美的结合在一起，体现了我国古代人民的智慧。这两个图案中圆的半径都是1m，你能根据三个图形之间的面积关系求出正方形和圆之间部分的面积吗？

2、阅读与理解：

师：你能找到哪些数学信息？要求出正方形和圆之间部分的面积是指的哪一部分的面积？哪位同学上台来指一指？

3、分析与解答：

师：你们能运用今天学习的知识来解决这个问题吗？

学生独立完成，教师巡视指导。

指名展示汇报并说想法。

预设：第一个图形正方形和圆之间部分的面积就可以用4r2减去πr2，等于0.86r2，结

果就是0.86平方米；第二个图形正方形和圆中间部分的面积就可以用πr减去2r等于1.14r2，结果就是1.14平方米。

4、回顾与反思：

师：这是根据三个图形面积之间的关系来解决的，能证明你们的方法是正确的吗？

预设：第一个图形中间的部分还可以用（2r）2－πr2＝0.86r2，结果也是0.86平方米；1第二个图形中间的部分还可以用πr2－（×2r×r）×2＝1.14r2，结果也是1.14平方2

米。四、全课小结。

师：这节课我们研究了什么知识？（板书课题：圆的面积——解决问题）你是怎样来进行研究的？

板书：

猜想 验证 应用

师：其实我国古代的人们早就发现了正方形和圆之间的关系，并把我们的为人处世之道总结为方圆之道。（课件出示）

方圆之道

：

方，是规矩，是做人之本；圆，是圆融，是处世之道。

方外有圆，圆中有方，方圆相济，社会才会和谐。

五、巩固拓展。

1、教材第70页“做一做”

学生独立完成后汇报。

2、在一个边长4厘米的正方形中间画一个最大的圆，这个正方形和圆中间的部分面积是多少？

板书设计： 圆的面积——解决问题

S圆 3.14×1＝3.14（平方厘米） 化 繁 为 简

S外切正方形 2×2＝4（平方厘米） 猜想 验证 应用

S内接正方形（222

1222 ×2×1）×2＝2（平方厘米） 4r－πr＝0.86r

21222（×1×1）×4＝2（平方厘米） （2r）－πr＝0.86r

2S外切正方形：S圆＝4：π πr2－2r2＝1.14r2

122S圆：S内接正方形＝π：2 πr－（×2r×r）×2＝1.14r

2S外切正方形：S圆：S内接正方形＝4：π：2