1.3 曲线的极坐标方程课堂实录及点评

1.3 曲线的极坐标方程

1．极坐标系的概念

(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM长度，用θ表示射线Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

(3)极坐标与直角坐标的区别与联系

区别

直角坐标

极坐标

点与直角坐标是“一对由于终边相同的角有无数个，即点的极角不惟一”的关系

一．因此点与极坐标是“一对多”的关系

联系

直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一对有序的实数

2．极坐标和直角坐标的互化

(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．

ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，(2)互化公式，ytan θ＝y＝ρsin θ；xx≠0.

.

[对应学生用书P4]

点的极坐标

[例1]

已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．

(1)点P是点Q关于极点O的对称点；

π(2)点P是点Q关于直线θ＝2的对称点．

[思路点拨]

确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．

[解]

(1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．

π(2)由P、Q关于直线θ＝2对称，

得它们的极径|OP|＝|OQ|，

点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，

所以点P的坐标为

(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．

设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．

另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．

π3ππ1，2，3，－1．在极坐标系中，画出点A，B. 2，C44解：如图所示．

ππ2．在极坐标系中，点A的极坐标是3，6，求点A关于直线θ＝2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．

5πππ解：作出图形，可知A(3，6)关于直线θ＝2的对称点是3，6. 

7π[例2]

(1)把点A的极坐标2，6化成直角坐标；

(2)把点P的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．

[思路点拨]

依据极坐标与直角坐标互化的公式解题．

7π[解]

(1)x＝2cos6＝－3，

7πy＝2sin6＝－1，

故点A的直角坐标为(－3，－1)．

－3(2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝1＝－3. 又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π因此点P的极坐标是2，3. 

(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．

(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．

3．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为(

) π2，A.4

5πC.2，4

3π2，B.

47πD.2，4

5π. 3点的极坐标与直角坐标的互化

3π解析：点P(－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为4.

答案：B 4．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．

5π(1)已知点A的极坐标(4，3)，求它的直角坐标；

(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)

5π解：(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos3＝2. 5πy＝ρsin θ＝4sin3＝－23. ∴A点的直角坐标为(2，－23)．

(2)∵ρ＝x2＋y2＝22＋－22＝22，

－2tan θ＝2＝－1.且点B位于第四象限内，

7π7π∴θ＝4，∴点B的极坐标为(22，4)．

3又∵x＝0，y＜0，∴ρ＝15，θ＝2π.

3π∴点C的极坐标为15，2. 

[对应学生用书P5]

一、选择题

－πππ1．在极坐标平面内，点M3，200π，N，201π)，G－3，－200π，3π2π＋，200π中互相重合的两个点是(

) H3A．M和N

C．M和H

B．M和G

D．N和H

解析：由极坐标的定义知，M、N表示同一个点．

答案：A

π2．将点M的极坐标10，3化成直角坐标是(

) A．(5,53)

C．(5,5)

B．(53，5) D．(－5，－5) ππ解析：x＝ρcos θ＝10×cos3＝5，y＝ρsin θ＝10sin3＝53. 答案：A 3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．

答案：A π4π4．已知A，B两点的极坐标分别为6，3和8，3，则线段AB中点的直角坐标为(

) 13A.，－

2231C.，－

2213B.－，－

2231D.－，

224π4π1解析：AB中点的极坐标为1，3，根据互化公式x＝ρcos θ＝cos 3＝－2，4π313y＝ρsin θ＝sin 3＝－2，因此，所求直角坐标为－，－. 22答案：B 二、填空题

π5．点2，6关于极点的对称点为________．

72，解析：如图，易知对称点为. 6π

7π答案：2，6

3ππ6．在极坐标系中，已知A1，4，B2，4两点，则|AB|＝________. 解析：|AB|＝答案：5 ππ3，3，7．直线l过点A，B6，则直线l与极轴夹角等于________．

33ππ1＋2－2×1×2cos4－4＝5. 22

解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．

因为|AO|＝|BO|＝3，

πππ∠AOB＝3－6＝6，

5π所以∠OAB＝2＝12，

π5ππ所以∠ACO＝π－3－12＝4. π答案：4

三、解答题

π8．在极轴上求与点A42，4的距离为5的点M的坐标．

解：设M(r,0)，

π因为A42，4，

所以

π422＋r2－82r·cos4＝5，

ππ－6即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．

π2π9．(1)已知点的极坐标分别为A3，－4，B2，3，

π3C，π，D－4，2，求它们的直角坐标．

25(2)已知点的直角坐标分别为A(3，3)，B0，－，

3C(－2，－23)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

3232，

解：(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A，－223B(－1，3)，C－，0，D(0，－4)．

2πy23，(2)根据ρ＝x＋y，tan θ＝x得A，

62224π53πB，，C4，3. 23π10．已知定点P4，3. π23，(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；

6π(2)极点不变，将极轴顺时针转动6角，求P点的新坐标．

解：(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO′|＝23，|OP|ππ＝4，∠POx＝3，∠O′Ox＝6，

π∴∠POO′＝6. π在△POO′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵sin∠OPO′sin∠POO′＝，

223

πsin63π∴sin∠OPO′＝2·23＝2，∴∠OPO′＝3. πππ∴∠OP′P＝π－3－3＝3，

2π2π∴∠PP′x＝3.∴∠PO′x′＝3. 2π∴P点的新坐标为2，3. (2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，

πππ则ρ＝4，θ＝3＋6＝2. π∴P点的新坐标为4，2. 