三元一次方程组的解法2课件配套优秀公开课教案设计

《三元一次方程组（2）》教学设计

南宁市第三十七中学

李明哲

一、内容和内容解析

1、内容

三元一次方程组解法第二课时，在“代入消元法”、“加减消元法”解三元一次方程组的基础上，针对有特殊结构特征的三元一次方程组使用“整体法”、“设比值法”、“参数法”来解决问题。

2、内容解析

三元一次方程组的解法指导思想是“消元”，按“三元—二元—一元”顺序消元，体现数学中“化归”的思想方法。

三元一次方程组的应用，是在学习了二元一次方程组解法的基础上进行的，在生活实践和数学领域里有着非常广泛的应用.第一课时学生学习运用代入、加减消元法解三元一次方程组，这是通法。本课时是针对一些具有特殊结构特征的三元一次方程组的解法，除了用通法解方程组外，还可以根据方程组的结构特征采用一些更简便的方法，目的是培养学生一题多解的发散思维，学会从不同角度去观察、分析、解决问题，提高数学解题能力。

本节课教学重点：根据方程组结构特征选择合适的解法

二、目标和目标解析

1、目标

（1）学习用“整体法”、“设比值法”、“参数法”解三元一次方程组。

（2）理解三元一次方程组得解题思路是“消元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归的思想。

2、目标解析

达成目标（1）的标志：学生学会观察三元一次方程组的式子结构特征，灵活选择合适的方法解三元一次方程组，比较不同解法之间的差异，选择最优解法。

达成目标（2）的标志：让学生经历探究的过程，体会三元一次方程组和二元一次方程组、一元一次方程之间的关系，进一步体会消元思想和化归思想。

三、教学问题诊断分析

学生第一次遇到多元问题，如何把三元转化成二元，或者直接把三元转化成一元，把未知转化成已知，需要结合实际问题具体分析，第一课时已经学习了代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，这是通法，学生要根据不同的式子结构特征选择更优、更简便的解法是本课时的目标。

本节课难点：根据方程组得结构特征选择合适的解法

四、教学过程

1、复习引入

复习三元一次方程组的基本解法：代入加减法、加减消元法

解三元一次方程组的指导思想：消元

三元

一元

二元

数学思想方法：“化归”思想

2、探究新知

问题1：例1、甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？

师生活动：学生思考后回答：解：购买甲一件商品要X元，乙一件商品要y元， 丙一件商品要z元. 3x2yz130



x2y3z210

1

追问1：（1）这个方程组能不能求出未知数x,y,z的具体值？

（2）题目要求的结果是否一定要求出x,y,z的具体值？

师生活动：学生回答：两个方程三个未知数不能求出x,y,z的具体值。题目的结果是要求x+y+z的值。

追问2：能不能不解方程组，由两个方程变形出“x+y+z”这个整体的值？

师生活动：学生经过观察方程组特征，得出解法：

（1）+（2）得：4x+4y+4z=340 x+y+z=85 师生活动：师生一起总结解法，两个方程三个未知数是不能解出未知数的具体值，根据方程组的结构特征把两个方程相加或相减，可以求出“x+y+z”整体的值，这就是“整体法”。

设计意图：引导学生观察具有特殊结构的方程组特征，当不能通过代入消元法、加减消元法求出未知数具体值时，考虑通过两个方程之间的关系变形出“x+y+z”的整体值，体会整体的思想。

xy10

则x+y+z的值是多少？

例2：已知三元一次方程组yz20

zx40,

xy10变式练习1：解三元一次方程组

yz20zx40,



设计意图：巩固“整体法”的应用。

xyz问题2：

例题3：解三元一次方程组234xyz18

师：这个方程组有几个方程、几个未知数？如何解决连比的问题？

师生活动：学生经过小组讨论活动，得出解法：

解：原方程组化为

xy（1）

2

233x2yxy



3yz即4y3z4（2）

34zyxyz183

xyz18

xyz18（3）



把（1）和（2）代入（3）得：

24

yyy18

33

x4解得：y6

原方程组的解为

y6z8



x4,z8

2

师生活动：连比问题方法总结，对于连比问题可以把连比式子拆成两个方程，观察方程特点可得两个未知数与同一个未知数有关系，即可用这个相同未知数表示另外两个未知数，把“三元”变成“一元”，三元一次方程组变为一元一次方程，体现化归思想。

追问1：这道题除了这种解法还有其他解法吗？连比的式子还有什么特点？

师生活动：学生经过探究发现连比的式子的比值相同，可以通过设比值，把三个未知数都转化为和这个比值的关系，从而得出“设比值法”。解法如下：

解：由（1）得：设x3k,y4k,z5k,

x6,y8,z10

则把它们代入（2）得：

23k4k35k50x6

6k4k15k50原方程组的解为y8

z10

25k50

k2

追问2：比较上面两种解法，哪一种更简单？这两种解法有什么共同特点？

师生活动：学生通过比较发现第二种解法更简单，两种解法的共同点是把“三元”直接转化为“一元”，三元一次方程组中出现连比方程用“设比值法”更便捷。

设计意图：学生观察含有连比方程的三元一次方程组结构特征，由连比方程的特殊性得出两种不同的解法，同时通过比较不同解法的优劣，培养学生一题多解的发散思维，同时体会“三元”可以直接转化为“一元”的化归思想。

x:y:z3:4:5

变式练习1：解三元一次方程组2xy3z50

设计意图：“设比值法”的巩固应用。

2x3yk(1)问题3：

例题4：关于x,y的方程组的解x,y的和为12，求k的值。3x5yk2(2)

师：由已知条件可以推出什么结论？这个结论有什么特点？它和方程组有什么关系？

生：由已知条件可以推出x+y=12,这个方程可以和方程组结合组成一个三元一次方程组，这个方程不含有未知数k,所以原方程组可以先消掉未知数k,然后和x+y=12联立组成一个二元一次方程组求解，“三元”变成“二元”。解法如下：

解：依题意得：x+y=12

（2）(1)得：x2y2

xy12x22由得：

x2y2y10

k2223（-10）14

3

师生活动：师生进行方法总结，这类问题中把其中一个未知数当成参数，可以消掉这个参数，把三元转化成二元，称之为“参数法”。

2x3yz0(1)x例题5：已知：,求的值。

yx2yz0(2)

师生活动：学生观察方程组特点发现要求的结论没有未知数z，于是可以选择z作为参数，两个方程相加消掉参数z，从而得答案。解法如下:

解：（1）（2）得：

3xy0

y3x

xx1

y3x3

x2y3z0xyz

例题6：已知方程组求的值。

2x3y4z0,xyz

师生活动：学生经过小组讨论得出解法，把三个未知数中的一个未知数当成参数，三元一次方程组转化为含有参数的二元一次方程组求解，用这个相同的未知数表示另外两个未知数，从而三元转化为一元。解法如下：

x2y3z(1)

xyzz2zz2z解：原方程组化为12x3y4z(2)

xyzz2zz2z

（1）2:2x4y6z

（3）(2)：y2z

把y2z代入（1）得：

x22z3z

师生活动：方法总结

把Z看做参数

“转化”思想

x,y用z表示

设计意图：通过三个例题由浅入深的层层递进，让学生体会“参数法”解决具有特殊结构特征的三元一次方程组得应用。

（

4

3、课堂小结：

三元一次方程组解法总结：

指导思想：消元

“化归”思想

三元

二元

一元

方法：

代加整

入减

设比

消消体

值元元法

法法

法

4、布置作业

5 参

数

法