14.2 三角形的内角和公开课教案

14.2(2)三角形的外角与外角和

教师进修学院附属实验中学：张晓云

教学目标：

1、知道三角形的外角及外角和的概念，掌握三角形外角的性质，会用三角形外角性质进行简单的说理计算和几何推理；

2、经历对三角形外角性质观察猜想、说理、归纳的探究过程，理解三角形外角性质，初步体会从直观感知到理性说理的几何图形性质探究的历程，初步形成数学说理的意识，形成推理论证的能力；经历单一三角形到组合三角形的计算训练，培养学生的识图能力，感悟数形结合思想；

3、学生在学习活动中进一步增强探索的意识，提高合作交流的能力，获得成功的体验。

教学重点：探究并掌握三角形外角性质，会用三角形外角性质进行简单的说理计算和几何推理

教学难点：组合图形中外角的辨识，及运用逻辑推理解决三角形中角的计算

教学用具准备：多媒体设备

教学过程

设计意图

一、外角探究

1、三角形外角的概念：三角形一个内角的邻补角叫做三角

形的外角。

通过画图，加深对

三角形外角的认练习1、补画出三角形的全部外角，并用数字角标记在图上

识，并发现同一顶

点的两外角的关

系，为外角和的学

习做准备。

2、三角形外角性质探究

（1）、猜想

从三角形外角角通过几何画板，观察外角∠ACD与△ABC各内角存在什么数度的计算与内角量关系及大小关系？

关系的发现，到一（2）、说理验证

般三角形外角性要求：1.小组讨论

质的猜想，让学生 2.汇报交流

体会从特殊到一（3）、归纳性质

般以及相邻与不三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两相邻关系中的分个内角的和；

类讨论的数学思三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

想。

符号表示为：

因为∠ACD是△ABC的一个外角(已知)，

三角形外角性质所以∠ACD=∠A +∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的的说理验证既可两个内角的和)

以利用三角形内∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B（三角形的一个外角大于任何一个角和性质与平角

与它不相邻的内角）

练习2、辨析题

（1）、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）

（2）、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）

（3）、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）

练习3、求图中的x

意义，也可以利用添加平行线，这一环节让学生体会直观感知与理性思考的联系和区别，懂得直观结论需要说理证实的意义。

练习题需运用三角形的外角性质作出判断，加深识图及对所学性质的认识。

二、外角和探究

三角形外角和的1、三角形外角和概念：从三角形每个内角相邻的两个外角推导，主要利用三中分别取一个，这样的三个外角相加，得到的和称为三角形角形的外角性质的外角和. 和内角和性质；也2、三角形外角和性质探究

可利用邻补角和（1）、猜想：三角形外角和∠1＋∠2 ＋∠3 ＝? 三角形内角和性（2）、说理验证

质进行推导。让学要求：1.独立思考

生体会推理过程。

2.讨论交流

（3）、归纳性质

三角形的外角和等于360°

符号表示为：

因为∠1、∠2、∠3是△ABC的外角(已知)，

所以∠1+∠2 +∠3=360°(三角形的外角和等于360°)

三、例题解析

例1要注意数形结例1、已知△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，求分别与∠B、合，几何题在无图∠C相邻的一个外角的度数。

的情况下要先画

出大致图形，体验

根据图形运用外

角性质进行角度

计算；训练几何语

言的运用和表达。

例2本题涉及多个例2、如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，

三角形的内角与∠CAD=∠C，∠BAC=70º，∠ADB=80º，

A 外角关系，要注意求∠C、∠B的度数；

结合图形合理利

用三角形内角和

性质与外角性质

B D C 进行计算，提高学

生的看图分析能

四、总结反思

说一说，这节课你学到了什么？有什么感悟？

五、课后拓展

如图，不用测量，比较∠1、∠2、∠3的大小

变式一：延长CE交AB于点F,如图，可求哪些角度？

变式二：去掉线段ED，如图，求∠AEC

六、分层作业

一、必做题：

力和运用图形性质的能力。

学生自主归纳学习体会，梳理知识，凸显感悟数学思想方法。

以生为本，正视学生学习能力、认知水平等个体差异，让不同的学生都能学有所得，学有所成，体验学习带来的成功与快乐

针对不同层次的学生，作业布置环1、 P39/练习册14.2（2）

节设计了必做题2、如图，类似于三角形，我们称∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4为四和选做题。题目由边形的外角和，已知四边形的内角和为360º，你能用今天所易到难，层层递进

学的方法进行推理计算吗？能知道多边形的外角和吗?

二、选做题

3（1）如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。

（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？

【单元教学设计】

“三角形的有关概念与性质”单元设计

单元规划

【单元来源】沪教版《数学》七年级第二学期第十四章“三角形”第一节

【所属模块】图形与几何

在课本结构框架下，“三角形”这一章内容较多，可将这一章划分为三个单元。“三角形的有关概念与性质”是其中的第一单元。

表 1：“三角形的有关概念与性质”单元规划

单元名称

三角形的有关概念与性质

单元内容

1.内容出处与对应年级

本单元对应沪教版《数学》七年级第二学期第十四章“三角形”第一节“三角形的有关概念与性质”

三角形的三边关系

2.知识结构图

三角形的有关线段

三角形的高、中线、角平分线

三角形的内角和

三角形的外角和

三角形

不等边三角形

按边分类

等腰三角形

等边三角形

三角形的分类

锐角三角形

按角分类

直角三角形

钝角三角形

单元类型

■基于内容主题的单元

□基于学习专题的单元

单元结构

■线性结构 □并列结构 □中心结构

专题一：三角形的有关概念（三角形的三边关系、三角形的有关线段、三角形

的分类）

专题二：三角形的内角和

单元目标

1、知道三角形的有关概念；能判断三条线段能否构成三角形；能用符号语言表示三角形及其边、角等其他相关元素；能作三角形的高、中线与角平分线；会用三角形三边间的关系求未知的第三边的取值范围；

2、能从三角形的角、边两个角度将三角形分类；知道等腰、等边三角形的概念；知道三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线交于一点；能确定按角分类的各种三角形的中线、角平分线和高的交点位置；

3、会用三角形内角和性质求三角形的内角；能用三角形内角和性质判断三角形

的类型；能判断三角形三个内角中最多有几个钝角、直角、锐角；在探究根据不同依据对三角形分类的过程中初步体会分类思想；

4、会用三角形外角及其性质进行相关的角度计算；判别外角与相邻、不相邻内角的大小关系；通过对三角形内角和、外角等性质的探究，经历操作、归纳、猜测和说理证实的过程，感受说理的必要性，初步形成推理论证能力；

5、会用三角形内角和性质及外角性质进行角度计算或说明两角相等；在运用三角形内角和性质和外角性质解决相关问题的过程中发展几何说理的数学表达能力；

6、通过对三角形有关边、角性质的学习，初步体会从直观感知到理性说理的几何图形性质探究的历程，体验三角形在实际生产生活中的应用，初步形成数学说理的意识；

7、在探究三角形内角和定理的过程中，积累几何学习的经验，体会严谨、准确和简明地开展几何说理的重要意义，初步提高数学思维的品质。

单元总课时

单元教材教法分析

表 2：学情分析属性表

分析要点

■认知基础

■学习特点

主要方法

■经验判断法 ■观察法 ■调查访谈法

■资料分析法 □测试法

5课时

分析与说明：

三角形是小学学习过的内容，小学的学习经历就是辨认、画三角形，会用三角形的面积公式进行简单的计算。在初中阶段，与三角形相关的基础知识有：画一条线段等于已知线段、画一个角等于已知角，知道点到直线的距离等概念，还学习了角的相关概念、三线八角、平行线等知识。

在此之前，学生只是知道三角形这个图形，从三角形的定义开始，完整、系统地研究三角形，前期学习过的线段和线段的中点、角和角平分线、点到直线的距离等概念，都是学习三角形的边、内角、中线、角平分线、高等概念所必须的基础知识；角度的计算、画一条线段等于已知线段、画一个角等于已知角、三线八角的有关知识、平行线的性质与判定等是探究三角形内角和与外角性质的必备技能。

本单元的教学，要注意培养学生思维与表达的严谨性。例如，要注意区别一个角的平分线与三角形一个内角的角平分线的差异等。部分学生在图形语言、符号语言和文字语言之间的转译可能会有困难，是部分学生学习的困难所在。

探究多边形内角和的说理过程，为什么要添辅助线，怎样添辅助线也是部分学生可能会遇到的障碍。

纠正部分学生混乱的思维表达方式，和训练良好的说理与表达方式，为几何论证打好基础。

要点

核心内容

教学价值

表 3：内容解析属性表

分析与说明

三角形的有关概念、按边和按角对三角形进行分类、三角形任意两边与第三边的长度关系、三角形的内角和性质、三角形的外角与外角和性质等。

三角形是平面几何中的基本图形，本单元所学习的内容是之前所学的线段、角等几何基础知识的延续，是研究两条直线的位置关系、线段与线段、角与角的数量关系的第一个图形载体，是研究图形之间的形状、大小关系的基础，也是研究三角形全等等知识的重要基础。今后对多边形的研究，都是以三角形有关知识的学习为基础，很多也可以通过转化为三角形的问题来研究解决，在知识体系上具有承上启下的作用。三角形有关概念与性质与古代测量、划分土地面积等应用有紧密关联，三角形的稳定性在实际生活中也有应用价值。

运用本单元的知识解决有关问题时，应理解“直观感知”和“有依据的说理”之间的区别，能合理运用转化思想和方程思想等。

教学重点

理解三角形的有关概念，掌握三角形的内角和性质和外角的性质

教学难点

理解三角形三边的关系，探究三角形内角和性质

核心内容

三角形的有关概念

特点

■概念学习或知识建构

表 4：教法分析属性表

教学方法

■讲授法

□发现法

□归纳法

■对话法

□讲授法

□练习法

□操作实验法

□案例实践法

□讲授法

■发现法

■归纳法

□对话法

□讲授法

□练习法

□操作实验法

□案例实践法

□讲授法

■发现法

■归纳法

□对话法

分析与说明

□技能学习或问题解决

可以用讲授法直接给出定义，呈现定义的方式，可以是制作课件，用动画的形式呈现不在同一条直线上三条线段首尾顺次联结所组成的图形，解释概念等；也可以采用对话法，充分利用学生过去对三角形的直观认知，通过对若干关键细节的辨析，一同逐步建构起三角形的定义。

三角形的分类，可以用发现法、归纳法等教法。提供若干个三角形的图形，让学生从边和角两个角度去研究这一些三角形，根据边角的特点进行探究。通过一系列的测量、观察等归纳出三角形分类的方法和标准。

三角形的分类

■概念学习或知识建构

□技能学习或问题解决

三角形的内角和

■概念学习或知识建构

三角形的内角和的探究过程，可以用发现法和归纳法。通过验证三角形内角和是180°的活动，引导学生通过剪拼或折叠等方式将三个内角重新组合在一起构成平角或互为同旁内角。通过观察和发现，进一步归纳如何将拼图的过程转化成添加辅助线说理的过程，寻找到通过平行线的性质验证规律。

运用三角形内角和性质、外角性质、■技能学习□讲授法

或问题解决

■练习法

□操作实验法

□案例实践法

外角和进行简单的计算，属于技能学习，用练习法。通过例题，说明怎么用三角形内角和性质、外角性质、外角和进行计算，同时注意对学生规范的书写和数学表达的指导。

单元课时

5课时

专题

专题一：三角形的有关概念（三角形的三边关系、三角形的有关线段、三角形的分类）

专题二：三角形的内角和

表 5：课时划分表

课时

分课时主题

2课时

三角形的有关线段

分课时

1课时

三角形的分类

1课时

3课时

三角形的内角和性质

三角形的外角及其性质

三角形内角和性质的应用

1课时

1课时

1课时

单元目标设计

表 6：单元学习内容与要求汇总表

学习内容

具体要求

三角形中的有关概念

说明三角形任意两边之和大于第三边

懂得三角形的高、中线、角平分线的概念

初步会画三角形的高、中线、角平分线

知道三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线交于一点及这些交点的位置情况

知道三角形的分类

掌握三角形的内角和等于180°

知道三角形的外角概念，并知道三角形的内角和

三角形的外角和等于360°

懂得三角形的外角性质

表 7：知识与技能目标

序号

1 2 3 知识与技能目标表述

知道三角形的有关概念

能判断三条线段能否构成三角形

能用符号语言表示三角形及其边、角等其他相关元素

学***

■识记（A）

□理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

□识记（A）

■理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

□识记（A）

□理解（B）

■运用（C）

□综合（D）

单元课序

1 1 1 课标表述

在数学实验活动中，学习三角形的有关概念、性质，把握实验几何逐步向论证几何过渡的要求，进行逻辑推理的初步训练，认识几何结论严格化的过程和方法，了解数学证明的必要性，奠定推理论证的初步基础。

学***

A A B A A C B B

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 能作三角形的高、中线与角平分线

会用三角形三边间的关系求未知的第三边的取值范围

能从三角形的角、边两个角度将三角形分类

知道等腰、等边三角形的概念

知道三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线交于一点

□识记（A）

■理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

□识记（A）

■理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

■识记（A）

□理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

■识记（A）

□理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

■识记（A）

□理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 能确定按角分类的各种三角形的中线、■识记（A）

□理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

角平分线和高的交点位置

会用三角形内角和性质求三角形的内□识记（A）

□理解（B）

■运用（C）

□综合（D）

角

能用三角形内角和性质判断三角形的类型

能判断三角形三个内角中最多有几个钝角、直角、锐角

会用三角形外角及其性质进行相关的角度计算

判别外角与相邻、不相邻内角的大小关系

会用三角形内角和性质及外角性质进行角度计算或说明两角相等

□识记（A）

■理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

□识记（A）

■理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

□识记（A）

□理解（B）

■运用（C）

□综合（D）

□识记（A）

■理解（B）

□运用（C）

□综合（D）

□识记（A）

□理解（B）

■运用（C）

□综合（D）

表 8：过程与方法目标

序号

过程与方法目标表述

能力水平

1 在探究根据不同依据对三角形分类的□运算求解 ■推理论证

过程中初步体会分类思想

■空间想象 □数学表达

□数据处理 □数学建模 2 通过对三角形内角和、外角等性质的探□运算求解 ■推理论证

究，经历操作、归纳、猜测和说理证实■空间想象 □数学表达

的过程，感受说理的必要性，初步形成□数据处理 □数学建模

推理论证能力

3 在运用三角形内角和性质和外角性质□运算求解 ■推理论证

解决相关问题的过程中发展几何说理■空间想象 ■数学表达

的数学表达能力

□数据处理 □数学建模

表 9：情感态度与价值观目标

序号

情感态度与价值观目标表述

育人价值的视角

1 通过对三角形有关边、角性质的学习，■数学与理性

■数学与思维

初步体会从直观感知到理性说理的几■数学与方法

□数学与美学

何图形性质探究的历程，体验三角形在■数学与社会

实际生产生活中的应用，初步形成数学说理的意识

2 在探究三角形内角和定理的过程中，积■数学与理性

■数学与思维

累几何学习的经验，体会严谨、准确和■数学与方法

□数学与美学

简明地开展几何说理的重要意义，初步□数学与社会

提高数学思维的品质

单元课序

1,2

3,4

5 单元课序

1,2, 3,4

3,4,5