5.4 二次函数与一元二次方程教学设计思路

5.4 二次函数与一元二次方程（1）

学习目标： 1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；

2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）图像交点的横坐标．

学习重点：经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．

学习难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系．

学习过程

： 【教学过程】：

一.【情境创设】

(1)解下列一元二次方程：

222①x2x30 ②x6x90 ③x2x30

2(2)对于任何一个一元二次方程axbxc0，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：

当 >0时，方程有 实数根；

当 =0时，方程有 实数根；

当 <0时，方程 实数根. 二.【问题探究】

问题1. 观察二次函数的图象，写出它们与x轴、y轴的交点坐标：

函数

yx22x3

yy=x2-2x-3yx26x9

y1110yx22x3

yy=x2-2x+311109

y=x2-6x+9

7

图

象

6598483776265514412-2O-1-224x6810332211-3-4O246x81012-2O-124x681012-5与x轴交点坐标是

与x轴交点坐标是

与x轴交点坐标是

（ ， ）

（ ， ） （ ， ）

（ ，

）

（ ，

）

（ ，

）

交

点

与y轴交点坐标是与y轴交点坐标是

与y轴交点坐标是

（ ，

）

（ ，

）

（ ，

）

归纳：

22 ⑴一元二次方程axbxc0的实数根就是对应的二次函数yaxbxc与

x轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为x1、x2）

二次函数yax2bxc

( , )O与

一元二次方程ax2bxc0

y( , )x与x轴有 个交点

2b4ac 0，方程有 的



实数根是 . yO( , )

x与x轴有 个交点

这个交点是 点

2b4ac 0，方程有 的



实数根是 . yOx

与x轴有 个交点



b24ac 0，方程 实数根. ⑶二次函数yax2bxc与y轴交点坐标是 .

练习.判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ⑴yx2x； ⑵yx26x9 ⑶y3x26x11

问题2.已知二次函数yx4x3

（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

2（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x3x40有什么关系？

（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

（4）当x取何值时，y=8？x取何值时，函数值y大于8？x取何值时，函数值y小于8？

归纳：

22⑴求抛物线yaxbxc与x轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应方程 的解；若对应方程的实数根为x1、x2，则抛物线与x轴的交点坐标是 ，特

别当x1x2时，这个交点就是抛物线的 . ⑵求抛物线yax2bxc与y轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 .这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法. 问题3. 已知函数y3x26x24：

(1)函数图像与x轴交点A．B的坐标是什么？与y轴交点C的坐标是什么？

(3)求△ABC的面积？

(4)当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？

(5)当3x0时，y的取值范围是什么？

三.【拓展提升】 问题4. 已知：关于x的一元二次方程x2(2m1)xm2m20．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若函数yx2(2m1)xm2m2与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2足x1x21，且满m2，求m的值．

m1

四.【课堂小结】 这节课你有哪些收获和困惑？

五.【当堂反馈】班级： 姓名：

1．下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）

A．yx2 B．yxx C．yx10x25 D．yxx2

2.函数ymxx2m（m是常数）的图象与x轴的交点有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个

3.方程x4x50的根是 ；则函数yx4x5的图象与x轴的交点

有 个，其坐标是 ．

4.抛物线yx2bxc的部分图象如图所示，则一元

2二次方程xbxc0

的两个根为 ．

2222222

5．已知二次函数yx24xk2与x轴有公共点，求k的取值范围．

6．已知二次函数yx2axa2．试说明此二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点．

7.二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程axbxc0的两个根． ；

（2）写出不等式ax2bxc0的解集． ；

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． ；

（4）若方程ax2bxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

y

3

222

1

O

1

1

2

1

2

3

4

x